Base di Hilbert

Insiemi parzialmente ordinati[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.3

è un insieme parzialmente ordinato. se esiste una relazione binaria che sia riflessiva, antisimmetrica e transitiva (ne è un esempio l'insieme delle parti con l'inclusione). Un insieme si dice totalmente ordinato se è parzialmente ordinato e se due elementi qualsiasi nell'insieme sono confrontabili tra loro, cioè o per ogni .

 


Esempio 4.3

Considero e introduco la relazione d'ordine . Questo è un insieme parzialmente ordinato (infatti non è vero che tutti gli elementi sono confrontabili tra loro, ad esempio ). Dato un sottoinsieme di , rispetto a questa relazione l'M.C.D. è l'inf di tale insieme e l' è il sup.

 


Definizione 4.4

Sia parzialmente ordinato, e sia . è massimale per se non esiste nessun elemento di maggiore di , quindi se la condizione implica .

 

Ci sono alcuni sottoinsiemi che hanno elemento massimale ma non hanno massimo: ad esempio posso considerare un diagramma con cinque punti, tre allineati su una riga e due allineati sulla riga sopra. Può anche avvenire che un insieme non abbia elementi massimali, ad esempio con la relazione d'ordine tra i numeri non ha elementi massimali.

Lemma di Zorn[modifica | modifica wikitesto]

Lemma 4.1 (lemma di Zorn)

Se ogni sottocatena di ha maggiorante, allora ha elementi massimali.

 

catena sottoinsieme totalmente ordinato in un insieme parzialmente ordinato

Il lemma di Zorn afferma che dati infiniti insiemi non vuoti, posso costruire un insieme prendendo un elemento in ogni .

Basi di Hilbert[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.5

Si chiama base di uno spazio di Hilbert un sottoinsieme ortonormale massimale (dire che la famiglia è massimale significa che, se ci aggiungo un vettore, esso dev'essere necessariamente 0).

 


Teorema 4.6

Ogni spazio di Hilbert, non ridotto al solo 0, ammette una base.

 
Dimostrazione

Se è diverso dal sottospazio nullo, esisterà , con , allora l'insieme costituito dal solo elemento è ortonormale, e quindi l'insieme dei sottoinsiemi ortonormali di non è vuoto. Se è una famiglia totalmente ordinata per inclusione di sottoinsiemi ortonormali, allora esiste maggiorante della catena. Prendo . Il prodotto tra due vettori in è nullo, perchè ad esempio si avrà e siccome i due insiemi sono confrontabili, se ad esempio , si ha che e quindi sono ortonormali. (il fatto che gli elementi siano confrontabili è vero solo perché ho una catena). Allora è la base cercata.

 

Cinque condizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 4.7

Sia di Hilbert e considero un sottoinsieme ortonormale numerabile. Sono equivalenti cinque condizioni:

  1. è una base
  2. è completo
  3. ogni è somma della sua serie di Fourier
  4. vale l'identità di Parseval
 
Dimostrazione

Abbiamo già mostrato che le condizioni dalla 2 alla 5 sono equivalenti. Mostro che la condizione 1 è equivalente a una qualsiasi delle altre.

Supponiamo che sia una base; se esiste tale che , posso considerare il vettore di norma 1 . Detto , questo è un sottoinsieme ortonormale che contiene , e questo va contro l'ipotesi che sia una base. Quindi , e vale la condizione 2.

Il viceversa vale perché se , allora .

 

Relazione tra basi di Hilbert e basi algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio di Hilbert è anche uno spazio vettoriale, e quindi ha anche una base algebrica (base di Hamel). Queste due basi coincidono se e solo se lo spazio è di dimensione finita. A priori, detta una base di Hilbert e una base algebrica, per le loro cardinalità si ha (infatti una base di Hilbert è anche una base algebrica). Nel caso infinito vale la relazione .

Per dimostrare l'uguaglianza delle cardinalità delle due basi nel caso finito è necessaria la seguente proposizione
Proposizione 4.2

Sia di Hilbert e di dimensione finita, allora è chiuso.

 
Dimostrazione

Sugli spazi di dimensione finita, tutte le norme sono equivalenti. Allora su posso prendere come norma la restrizione ad della norma di . Questa dev'essere equivalente alla norma 1.

Siccome ha dimensione finita, avrà una base . Ogni elemento si scrive come

allora
Esistono due costanti tali che per ogni ,
ma con è completo. Se ho una successione di Cauchy per la norma iniziale, essa lo sarà anche per la norma 1. Ma con la norma 1 è completo, allora la successione converge ad un certo per la norma 1. Allora si avrà la convergenza anche per la norma indotta, e quindi è completo con la norma indotta, ma se è completo è chiuso (dimostrazione ).

 
per questo valgono i discorsi validi per gli spazi reali.
Dimostrazione (dimostrazione $\ast$)

Preso , allora esiste una successione di elementi di che converge a , e questa successione è di Cauchy. Ma per la completezza di , la successione converge in cioè , quindi contiene i suoi punti di accumulazione ed è chiuso.

 

Tutti i sottoinsiemi completi di uno spazio metrico sono chiusi.

Dimostro la relazione tra le cardinalità delle due basi nel caso finito:

Dimostrazione

Supponiamo che sia finita, e sia una base di Hilbert. Per la massimalità di si ha , allora è denso in , e ha dimensione finita, quindi è chiuso. Allora , cioè è un sottoinsieme formato da vettori linearmente indipendenti che genera , cioè .

 

Dimensione di uno spazio di Hilbert[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 4.3

Sia di Hilbert e siano due sottoinsiemi ortonormali completi (due basi). Allora .

 
Dimostrazione

CASO 1: supponiamo che sia finita, e che , allora

dove l'ultimo passaggio vale perché un sottospazio vettoriale di dimensione finita è sempre chiuso. Segue quindi che è anche una base algebrica, e . Inoltre come spazio vettoriale , allora , allora è finita. Posso ripetere il procedimento partendo da , e ottengo , e dalle due disuguaglianze segue .

CASO 2: siano infinite. Fissiamo , allora l'insieme

è numerabile (dimostrato precedentemente). Affermo che , vale la doppia inclusione infatti:

  1. perché i sono fatti da elementi di .
  2. Se , allora deve esistere tale che , altrimenti si avrebbe , e quindi , ma questo non può avvenire perché deve avere norma 1 essendo un vettore di una base ortonormale. Quindi .

Detta la cardinalità di un insieme numerabile si ha

allora se è infinito anche è infinito, e rovesciando il ragionamento si ottiene , da cui l'uguaglianza.

 


Definizione 4.6

Si chiama dimensione di uno spazio di Hilbert la cardinalità di ogni base.

 
Gli spazi di Hilbert di dimensione numerabile sono tutti e soli gli spazi separabili in senso topologico.
Esercizio 4.3

Dimostrare che .

 
Dimostrazione

Posso considerare come base di questo spazio l'insieme delle funzioni per ogni . Questi elementi hanno norma 1, infatti:

Inoltre le sono ortogonali tra loro, infatti:
Questo insieme di funzioni inoltre è massimale, perché se ci aggiungessi un altro elemento, che sia ortogonale a tutti gli altri, esso sarebbe necessariamente la funzione nulla. Quindi le funzioni costituiscono una base di Hilbert e .

 

Se la dimensione di come spazio di Hilbert è la cardinalità numerabile , allora la dimensione algebrica di è . Ad esempio, nel caso di inteso come spazio delle successioni convergenti a valori reali (cioè con ), si ha che la sua dimensione come spazio di Hilbert è ma la dimensione algebrica di

è la dimensione del continuo. Questo si spiega per il fatto che, a differenza degli spazi vettoriali finiti, non è detto che l'inviluppo lineare generato dai vettori della base sia chiuso, e prendendone la chiusura si aggiungono ad esso molti elementi.
Osservazione 4.2 (osservazione intuitiva)

Dato uno spazio di dimensione finita, ci sono vettori tali che

per ogni .
Per estendere il procedimento a un numero infinito di vettori, si scrive
dove .
Al finito
ed estendendo al caso infinito si ottiene l'identità di Parseval.

 
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