Lo spazio L^infty

Definisco

$$\|f\|_{\infty }=\inf\{m\geq 0\,t.c.\,|f(x)|<m{\hbox{ quasi ovunque}}\}$$

$$\|f\|_{\infty }=\inf\{m\geq 0\,t.c.\,|f(x)|<m{\hbox{ quasi ovunque}}\}$$

Se non esiste nessun $m$$m$ nell'insieme, pongo

$$\|f\|_{\infty }=+\infty$$

$$\|f\|_{\infty }=+\infty$$

altrimenti la norma è ben definita.
Definisco quindi lo spazio

$$L^{\infty }=\{f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} {\hbox{misurabili}}\,t.c.\,\|f\|_{\infty }<\infty \}.$$

$$L^{\infty }=\{f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} {\hbox{misurabili}}\,t.c.\,\|f\|_{\infty }<\infty \}.$$

La funzione $\|\cdot \|_{\infty }$$\|\cdot \|_{\infty }$ è una seminorma, ed è una norma se invece di considerare $L^{\infty }$$L^{\infty }$ considero lo spazio quoziente rispetto alla relazione $f\sim g$$f\sim g$ se e solo se $f=g$$f=g$ quasi ovunque.

Se considero le funzioni limitate $f:X\to \mathbb {R}$$f:X\to \mathbb {R}$ misurabili, con $\|f\|_{\infty }=\sup |f|$$\|f\|_{\infty }=\sup |f|$, ottengo uno spazio vettoriale.

Osservazione 6.1

Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successione di Cauchy in $L^{\infty }$$L^{\infty }$. Chiamo

$$E_{n}=\{x\,t.c.\,|f_{n}(x)|>\|f_{n}\|_{\infty }\}$$

$$E_{n}=\{x\,t.c.\,|f_{n}(x)|>\|f_{n}\|_{\infty }\}$$

$$A_{nm}=\{x\,t.c.\,|f_{n}(x)-f_{m}(x)|>\|f_{n}-f_{m}\|_{\infty }\}$$

$$A_{nm}=\{x\,t.c.\,|f_{n}(x)-f_{m}(x)|>\|f_{n}-f_{m}\|_{\infty }\}$$

e $\mu (A_{nm})=0$$\mu (A_{nm})=0$. Pongo

$$A=\bigcup _{n}(E_{n})\cup \bigcup _{n}(A_{nm})$$

$$A=\bigcup _{n}(E_{n})\cup \bigcup _{n}(A_{nm})$$

questa è un'unione numerabile di insiemi di misura 0 quindi $\mu (A)=0$$\mu(A)=0$. Lavorando sul complementare di $A$$A$ si può dimostrare la completezza di $L^{\infty }$$L^{\infty }$.