Lo spazio L^infty

Definisco

Se non esiste nessun nell'insieme, pongo
altrimenti la norma è ben definita.
Definisco quindi lo spazio
La funzione è una seminorma, ed è una norma se invece di considerare considero lo spazio quoziente rispetto alla relazione se e solo se quasi ovunque.

Se considero le funzioni limitate misurabili, con , ottengo uno spazio vettoriale.

Osservazione 6.1

Sia una successione di Cauchy in . Chiamo

e . Pongo
questa è un'unione numerabile di insiemi di misura 0 quindi . Lavorando sul complementare di si può dimostrare la completezza di .

 
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