Applicazioni del principio di limitatezza uniforme

Applicazione 1 Banach-Steinhaus

Osservazione 6.2

Considero la successione $f_{n}:[0,1]\to [0,1]$$f_{n}:[0,1]\to [0,1]$, tale che $f_{n}=x^{n}$$f_{n}=x^{n}$, allora

$$f(x)=\lim _{n}f_{n}(x)={\begin{cases}0&\iff x<1\\1&\iff x=1\end{cases}}$$

$$f(x)=\lim _{n}f_{n}(x)={\begin{cases}0&\iff x<1\\1&\iff x=1\end{cases}}$$

quindi il limite puntuale di funzioni continue non è necessariamente continuo.

 

Teorema 6.7 (teorema di Banach-Steinhaus)

Sia $X$$X$ uno spazio di Banach e $Y$$Y$ normato, sia $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$$(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successione di funzioni lineari e continue, con $A_{n}:X\to Y$$A_{n}:X\to Y$, e supponiamo che per ogni $x$$x$, la successione $A_{n}(x)$$A_{n}(x)$ sia convergente. Detta $A:X\to Y$$A:X\to Y$ tale che $x\mapsto \lim _{n}A_{n}(x)$$x\mapsto \lim _{n}A_{n}(x)$, segue che $A$$A$ è lineare e continua e $\sup _{n}\|A_{n}\|$$\sup _{n}\|A_{n}\|$ è limitato.

 

Dimostrazione

$A$$A$ è lineare, infatti

$$A(x+y)=\lim _{n}A_{n}(x+y)=\lim _{n}[A_{n}(x)+A_{n}(y)]$$

$$A(x+y)=\lim _{n}A_{n}(x+y)=\lim _{n}[A_{n}(x)+A_{n}(y)]$$

e siccome il limite esiste applico il teorema del limite della somma:

$$=\lim _{n}A_{n}(x)+\lim _{n}A_{n}(y)=A(x)+A(y)$$

$$=\lim _{n}A_{n}(x)+\lim _{n}A_{n}(y)=A(x)+A(y)$$

Affermo che esiste $m$$m$ positiva tale che per ogni $m$$m$, $\|A_{n}\|\leq m$$\|A_{n}\|\leq m$: infatti applicando il principio di limitatezza uniforme, si verifica necessariamente questa possibilità perché la seconda alternativa è esclusa per l'ipotesi che $A_{n}(x)$$A_{n}(x)$ converge (infatti se questo avviene il sup delle norme non può essere $+\infty$$+\infty$).

Mostro che $A$$A$ è continua: devo verificare che $\|A\|$$\|A\|$ è limitata:

$$\|A\|=\sup _{x\in B_{0,1}}\|A(x)\|=\sup _{x\in B_{0,1}}[\|A(x)+A_{n}(x)-A_{n}(x)\|]$$

$$\|A\|=\sup _{x\in B_{0,1}}\|A(x)\|=\sup _{x\in B_{0,1}}[\|A(x)+A_{n}(x)-A_{n}(x)\|]$$

$$\leq \sup _{x\in B_{0,1}}[\|A(x)-A_{n}(x)\|+\|A_{n}(x)\|]$$

$$\leq \sup _{x\in B_{0,1}}[\|A(x)-A_{n}(x)\|+\|A_{n}(x)\|]$$

$$\leq \sup _{x\in B_{0,1}}[\|A(x)-A_{n}(x)\|+\|A_{n}\|*\|x\|]$$

$$\leq \sup _{x\in B_{0,1}}[\|A(x)-A_{n}(x)\|+\|A_{n}\|*\|x\|]$$

dove l'ultimo passaggio vale per come è definita la norma di un'applicazione lineare. Ma siccome sto consoderando $x\in B_{0,1}$$x\in B_{0,1}$, $\|x\|<1$$\|x\|<1$ quindi

$$\leq \sup _{x\in B_{0,1}}[\|A_{x}-A_{n}(x)\|+\|A_{n}\|]$$

$$\leq \sup _{x\in B_{0,1}}[\|A_{x}-A_{n}(x)\|+\|A_{n}\|]$$

ma $\|A_{n}\|\leq M$$\|A_{n}\|\leq M$ per quanto detto prima, e $\|A_{n}-A\|$$\|A_{n}-A\|$ è limitata perché $A_{n}\to A$$A_{n}\to A$, quindi $\|A\|$$\|A\|$ è continua.

 

Conseguenze

Teorema 6.8

Considero una successione reale e due indici $p,q$$p,q$ coniugati, cioè tali che $1/p+1/q=1$$1/p+1/q=1$, e supponiamo che la serie

$$\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k}$$

$$\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k}$$

converge per ogni $y=(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R}$$y=(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R}$ e appartenente a $L^{q}$$L^{q}$. Allora $x\in L^{p}$$x\in L^{p}$.

 

Dimostrazione

Sia $A_{n}:L^{q}\to \mathbb {R}$$A_{n}:L^{q}\to \mathbb {R}$ lineare tale che $A_{n}(y)=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}$$A_{n}(y)=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}$. Si può mostrare che $A_{n}$$A_n$ è lineare e continua, e valutare $\|A_{n}\|$$\|A_{n}\|$. Per ogni $y$$y$,

$$A_{n}(y)\to \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k}=A(y).$$

$$A_{n}(y)\to \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k}=A(y).$$

$A$$A$ è lineare e $(A_{n}(y))_{n\in \mathbb {N} }$$(A_{n}(y))_{n\in \mathbb {N} }$ converge e quindi si può applicare Banach-Steinhaus, da cui segue che $A$$A$ è continua. Allora $A\in (L^{q})^{\ast }=L^{p}$$A\in (L^{q})^{\ast }=L^{p}$, e dato un elemento $A(y)$$A(y)$ nel duale, esiste uno e un solo elemento $x\in L^{p}$$x\in L^{p}$ che lo rappresenta.

 

Applicazione 2 serie di Fourier

Considero $C(T)$$C(T)$ insieme delle funzioni $f:T\to \mathbb {C}$$f:T\to \mathbb {C}$ continue, con la norma del sup. Allora $C(T)$$C(T)$ è uno spazio di Banach. Definendo i coefficienti

$$C_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,dt$$

$$C_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,dt$$

la serie di Fourier di $f$$f$ è data da

$$\sum _{k=-\infty }^{\infty }C_{k}e^{ikx}$$

$$\sum _{k=-\infty }^{\infty }C_{k}e^{ikx}$$

Si ha anche che

$$S_{n}=\sum _{k=-n}^{n}C_{k}e^{ikx}$$

$$S_{n}=\sum _{k=-n}^{n}C_{k}e^{ikx}$$

$$=\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,dte^{ikx}$$

$$=\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,dte^{ikx}$$

$$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*\sum _{k=-n}^{n}e^{ik(x-t)}\,dt$$

$$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*\sum _{k=-n}^{n}e^{ik(x-t)}\,dt$$

La funzione $D_{n}(t)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikt}$$D_{n}(t)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikt}$ è detta nucleo di Dirichlet.

$$\delta _{n}(t)=1+e^{it}+e^{-it}+e^{2it}+e^{-2it}+\dots +e^{int}+e^{-int}$$

$$\delta _{n}(t)=1+e^{it}+e^{-it}+e^{2it}+e^{-2it}+\dots +e^{int}+e^{-int}$$

$$=1+(\cos t+i\sin t+\cos t-i\sin t)+\dots +\cos(nt)+i\sin(nt)+\cos(nt)-i\sin(nt)$$

$$=1+(\cos t+i\sin t+\cos t-i\sin t)+\dots +\cos(nt)+i\sin(nt)+\cos(nt)-i\sin(nt)$$

$$=1+2\cos t+\dots +2\cos(nt)$$

$$=1+2\cos t+\dots +2\cos(nt)$$

$$=2*(1/2+\cos t+\dots +\cos(nt))$$

$$=2*(1/2+\cos t+\dots +\cos(nt))$$

e per un lemma dimostrato precedentemente:

$$=2*{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)t)}{\sin(t/2)}}.$$

$$=2*{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)t)}{\sin(t/2)}}.$$

$D_{n}$$D_{n}$ è continua e pari.
In definitiva

$$S_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*D_{n}(x-t)\,dt$$

$$S_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*D_{n}(x-t)\,dt$$

in particolare

$$S_{n}(f,0)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*D_{n}(-t)\,dt$$

$$S_{n}(f,0)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*D_{n}(-t)\,dt$$

e siccome $D_{n}$$D_{n}$ è pari:

$$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*D_{n}(t)\,dt=A_{n}$$

$$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*D_{n}(t)\,dt=A_{n}$$

dove $A_{n}$$A_n$ è la funzione che associa a una funzione $f$$f$ la somma parziale ridotta della sua serie di Fourier traslata nell'origine, ed è lineare. Inoltre $A_{n}$$A_n$ è continua.
Mostro che $|A_{n}(x)|$$|A_{n}(x)|$ non converge puntualmente.

$$|A_{n}(x)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(t)|*|D_{n}(t)|\,dt$$

$$|A_{n}(x)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(t)|*|D_{n}(t)|\,dt$$

$$\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\|f\|_{\infty }|D_{n}(t)|dt$$

$$\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\|f\|_{\infty }|D_{n}(t)|dt$$

quindi

$${\frac {|A_{n}(f)|}{\|f\|_{\infty }}}=\|A_{n}\|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|D_{n}|(t)\,dt=\|D_{n}\|_{1}$$

$${\frac {|A_{n}(f)|}{\|f\|_{\infty }}}=\|A_{n}\|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|D_{n}|(t)\,dt=\|D_{n}\|_{1}$$

Mostro che per $n\to \infty$$n\to \infty$, $\|D_{n}\|_{1}\to \infty$$\|D_{n}\|_{1}\to \infty$. Si può dimostrare che $S^{*}=\sup _{n}|S_{n}(f,0)|=+\infty$$S^{*}=\sup _{n}|S_{n}(f,0)|=+\infty$ su un $G_{\delta }$$G_{\delta }$ denso, allora la serie di Fourier non può convergere. $C(T)$$C(T)$ è uno spazio di Banach e non ha punti isolati, quindi un $G_{\delta }$$G_{\delta }$ denso deve avere una cardinalità superiore al numerabile.

$$\|D_{n}(t)\|_{1}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|D_{n}(t)|\,dt$$

$$\|D_{n}(t)\|_{1}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|D_{n}(t)|\,dt$$

$$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin((n+1/2)t)}{|\sin(t/2)|}}\,dt$$

$$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin((n+1/2)t)}{|\sin(t/2)|}}\,dt$$

e siccome $D_{n}(t)$$D_{n}(t)$ è una funzione pari:

$$={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin((n+1/2)t)}{\sin(t/2)}}\,dt$$

$$={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin((n+1/2)t)}{\sin(t/2)}}\,dt$$

Il seno è sempre maggiore dell'arco, quindi

$$\geq {\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {|\sin((n+1/2)t)|}{t}}\,dt$$

$$\geq {\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {|\sin((n+1/2)t)|}{t}}\,dt$$

e ponendo $s=(n+1/2)t$$s=(n+1/2)t$:

$$={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{n\pi }|\sin s|/s\,ds$$

$$={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{n\pi }|\sin s|/s\,ds$$

$$={\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{n-1}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {\sin s}{s}}\,ds$$

$$={\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{n-1}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {\sin s}{s}}\,ds$$

$$\geq {\frac {2}{\pi }}\sum _{k}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin s|}{(k+1)\pi }}\,ds$$

$$\geq {\frac {2}{\pi }}\sum _{k}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin s|}{(k+1)\pi }}\,ds$$

e minorando il denominatore:

$$\geq {\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(k+1)\pi }}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }|\sin s|\,ds$$

$$\geq {\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(k+1)\pi }}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }|\sin s|\,ds$$

$$={\frac {4}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k+1}}$$

$$={\frac {4}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k+1}}$$

e quindi la serie diverge per $n\to \infty$$n\to \infty$. Quindi $\|D_{n}\|\to \infty$$\|D_{n}\|\to \infty$.

Mostro che vale l'uguaglianza $\|A_{n}\|=\|D_{n}\|$$\|A_{n}\|=\|D_{n}\|$. Da questo segue che la famiglia degli $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$$(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ non è equilimitata, e quindi deve esistere un $G_{\delta }$$G_{\delta }$ denso tale che per ogni funzione $f$$f$ nel $G_{\delta }$$G_{\delta }$, la serie di Fourier di $f$$f$ nell'origine non converge.

Per mostrare l'uguaglianza, è necessario studiare il segno di

$$D_{n}(t)={\frac {\sin((n+1/2)t)}{\sin(t/2)}},\,t\in [-\pi ,\pi ].$$

$$D_{n}(t)={\frac {\sin((n+1/2)t)}{\sin(t/2)}},\,t\in [-\pi ,\pi ].$$

Siccome $D_{n}$$D_{n}$ è pari, studio solo il segno per $t\in [0,\pi ]$$t\in [0,\pi ]$ e in particolare studio il segno del numeratore:

$$\sin(n+1/2t)=0$$

$$\sin(n+1/2t)=0$$

$$(n+1/2)t=\pi$$

$$(n+1/2)t=\pi$$

$$t={\frac {2\pi }{2n+1}}$$

$$t={\frac {2\pi }{2n+1}}$$

quindi

1. Per $n=1$$n=1$, il nucleo si annulla solo in $2\pi /3$$2\pi /3$ (infatti il valore successivo $4\pi /3$$4\pi /3$ è fuori dall'intervallo).
2. Per $n=2$$n=2$, gli zeri sono $t_{1}=2\pi /5,\,t_{2}=4\pi /5$$t_{1}=2\pi /5,\,t_{2}=4\pi /5$, e i punti successivi non rientrano nell'intervallo.
3. Per $n=3$$n=3$, gli zeri sono $t_{1}=2\pi /7,\,t_{2}=4\pi /7,\,t_{3}=6\pi /7$$t_{1}=2\pi /7,\,t_{2}=4\pi /7,\,t_{3}=6\pi /7$.

Considero la funzione

$$G_{n}(t)={\begin{cases}1&\iff D_{n}(t)\geq 0\\-1&\iff D_{n}(t)<0\end{cases}}$$

$$G_{n}(t)={\begin{cases}1&\iff D_{n}(t)\geq 0\\-1&\iff D_{n}(t)<0\end{cases}}$$

(Ad esempio, nel caso $n=2$$n=2$, siccome $D_{n}$$D_{n}$ è inizialmente positivo per $t>0$$t>0$, segue che $G$$G$ è positiva tra $0$$0$ e $2\pi /5$$2\pi /5$, è negativa tra $2\pi /5$$2\pi /5$ e $4\pi /5$$4\pi /5$ e positiva dopo $4\pi /5$$4\pi /5$.)

Esiste una successione di funzioni continue di norma minore o uguale a 1, tali che

$$\lim _{j}f_{j}(t)=G_{n}(t).$$

$$\lim _{j}f_{j}(t)=G_{n}(t).$$

Inoltre

$$\lim _{j}A_{n}(f_{j})=\lim _{j}{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f_{j}(t)D_{n}(t)\,dt$$

$$\lim _{j}A_{n}(f_{j})=\lim _{j}{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f_{j}(t)D_{n}(t)\,dt$$

e per il teorema di convergenza dominata, siccome $f_{j}(t)<1$$f_{j}(t)<1$:

$$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }G_{n}(t)D_{n}(t)\,dt$$

$$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }G_{n}(t)D_{n}(t)\,dt$$

$$=\|D_{n}\|_{1}$$

$$=\|D_{n}\|_{1}$$

Possiamo concludere che esiste $E$$E$$G_{\delta }$$G_{\delta }$ denso tale che per ogni $f\in E$$f\in E$, non è vero che $D_{n}(f,0)$$D_{n}(f,0)$ converge.
In realtà, la scelta di $x=0$$x=0$ serviva solo per semplificare i conti. Si ha però che per ogni $x$$x$, esiste un insieme $E_{x}$$E_x$$G_{\delta }$$G_{\delta }$ denso tale che per ogni $f$$f$ in questo insieme, $S_{n}(f,x)\not \to f(x)$$S_{n}(f,x)\not \to f(x)$.

Considero una successione $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$$(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ densa in $[-\pi ,\pi ]$$[-\pi ,\pi ]$, allora per ogni $i$$i$ esiste $E_{x_{i}}\subset C(T)$$E_{x_{i}}\subset C(T)$ tale che per ogni $f\in E_{x_{i}}$$f\in E_{x_{i}}$ la serie non converge in $x_{i}$$x_i$. Considero l'intersezione

$$E=\bigcap _{i}E_{x_{i}}$$

$$E=\bigcap _{i}E_{x_{i}}$$

ogni $E_{x_{i}}$$E_{x_{i}}$ è un $G_{\delta }$$G_{\delta }$ denso, quindi anche $E$$E$, che è un'intersezione numerabile di aperti densi, è $G_{\delta }$$G_{\delta }$ denso per il teorema di Baire.

$$S^{*}(f,x)=\sup _{n}|S_{n}(f,x)|$$

$$S^{*}(f,x)=\sup _{n}|S_{n}(f,x)|$$

Come funzione di $x$$x$, $S_{n}(f,x)$$S_{n}(f,x)$ è continua. Allora

$$G=\{x\,t.c.\,S^{*}(f,x)=+\infty \}$$

$$G=\{x\,t.c.\,S^{*}(f,x)=+\infty \}$$

è un $G_{\delta }$$G_{\delta }$, perché $S^{*}$$S^{*}$ è semicontinua inferiormente in $x$$x$, ed è anche denso perché intersezione di aperti densi.
Conclusione: Esistono $E\subset C(T)$$E\subset C(T)$$G_{\delta }$$G_{\delta }$ denso e $G\subset \mathbb {R}$$G\subset \mathbb {R}$$G_{\delta }$$G_{\delta }$ denso tali che per ogni $f\in E$$f\in E$ e per ogni $x\in G$$x\in G$, allora la serie di Fourier $S_{n}(f,x)\not \to f(x)$$S_{n}(f,x)\not \to f(x)$.