Considero la successione
, tale che
, allora

quindi il limite puntuale di funzioni continue non è necessariamente continuo.
Teorema 6.7 (teorema di Banach-Steinhaus)
Sia
uno spazio di Banach e
normato, sia
una successione di funzioni lineari e continue, con
, e supponiamo che per ogni
, la successione
sia convergente. Detta
tale che
, segue che
è lineare e continua e
è limitato.
Dimostrazione
è lineare, infatti
![{\displaystyle A(x+y)=\lim _{n}A_{n}(x+y)=\lim _{n}[A_{n}(x)+A_{n}(y)]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/91d940d5b08c8ee84a051cfb99df4c33e7a15923)
e siccome il limite esiste applico il teorema del limite della somma:

Affermo che esiste

positiva tale che per ogni

,

: infatti applicando il principio di limitatezza uniforme, si verifica necessariamente questa possibilità perché la seconda alternativa è esclusa per l'ipotesi che

converge (infatti se questo avviene il sup delle norme non può essere

).
Mostro che
è continua: devo verificare che
è limitata:
![{\displaystyle \|A\|=\sup _{x\in B_{0,1}}\|A(x)\|=\sup _{x\in B_{0,1}}[\|A(x)+A_{n}(x)-A_{n}(x)\|]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/9f913d1504cde4a127d3a747f7c4cb4438c9ab5b)
![{\displaystyle \leq \sup _{x\in B_{0,1}}[\|A(x)-A_{n}(x)\|+\|A_{n}(x)\|]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/7c9589a550f51d419cb89b6023c9d9c0c621ca63)
![{\displaystyle \leq \sup _{x\in B_{0,1}}[\|A(x)-A_{n}(x)\|+\|A_{n}\|*\|x\|]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/441d91b5ce38979f5aa92238bd0000ccc14dbe37)
dove l'ultimo passaggio vale per come è definita la norma di un'applicazione lineare. Ma siccome sto consoderando

,

quindi
![{\displaystyle \leq \sup _{x\in B_{0,1}}[\|A_{x}-A_{n}(x)\|+\|A_{n}\|]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/bfbed04284b2227fe5b64b54b1a82f2177d89ddd)
ma

per quanto detto prima, e

è limitata perché

, quindi

è continua.
Teorema 6.8
Considero una successione reale e due indici
coniugati, cioè tali che
, e supponiamo che la serie

converge per ogni

e appartenente a

. Allora

.
Dimostrazione
Sia
lineare tale che
. Si può mostrare che
è lineare e continua, e valutare
. Per ogni
,


è lineare e

converge e quindi si può applicare Banach-Steinhaus, da cui segue che

è continua. Allora

, e dato un elemento

nel duale, esiste uno e un solo elemento

che lo rappresenta.
Considero
insieme delle funzioni
continue, con la norma del sup. Allora
è uno spazio di Banach. Definendo i coefficienti

la serie di Fourier di

è data da

Si ha anche che



La funzione

è detta
nucleo di Dirichlet.




e per un lemma dimostrato precedentemente:


è continua e pari.
In definitiva

in particolare

e siccome

è pari:

dove

è la funzione che associa a una funzione

la somma parziale ridotta della sua serie di Fourier traslata nell'origine, ed è lineare. Inoltre

è continua.
Mostro che
non converge puntualmente.


quindi

Mostro che per

,

.
Si può dimostrare che

su un

denso, allora la serie di Fourier non può convergere.

è uno spazio di Banach e non ha punti isolati, quindi un

denso deve avere una cardinalità superiore al numerabile.


e siccome

è una funzione pari:

Il seno è sempre maggiore dell'arco, quindi

e ponendo

:



e minorando il denominatore:


e quindi la serie diverge per

.
Quindi

.
Mostro che vale l'uguaglianza
. Da questo segue che la famiglia degli
non è equilimitata, e quindi deve esistere un
denso tale che per ogni funzione
nel
, la serie di Fourier di
nell'origine non converge.
Per mostrare l'uguaglianza, è necessario studiare il segno di
![{\displaystyle D_{n}(t)={\frac {\sin((n+1/2)t)}{\sin(t/2)}},\,t\in [-\pi ,\pi ].}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/923aaf5294708aeacd362f571db9490e55eaa0c8)
Siccome

è pari, studio solo il segno per
![{\displaystyle t\in [0,\pi ]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/9379db0b64ddff71762d02723a565f19e65443cb)
e in particolare studio il segno del numeratore:



quindi
- Per
, il nucleo si annulla solo in
(infatti il valore successivo
è fuori dall'intervallo).
- Per
, gli zeri sono
, e i punti successivi non rientrano nell'intervallo.
- Per
, gli zeri sono
.
Considero la funzione

(Ad esempio, nel caso

, siccome

è inizialmente positivo per

, segue che

è positiva tra

e

, è negativa tra

e

e positiva dopo

.)
Esiste una successione di funzioni continue di norma minore o uguale a 1, tali che

Inoltre

e per il teorema di convergenza dominata, siccome

:


Possiamo concludere che esiste


denso tale che per ogni

, non è vero che

converge.
In realtà, la scelta di

serviva solo per semplificare i conti. Si ha però che per ogni

, esiste un insieme


denso tale che per ogni

in questo insieme,

.
Considero una successione
densa in
, allora per ogni
esiste
tale che per ogni
la serie non converge in
. Considero l'intersezione

ogni

è un

denso, quindi anche

, che è un'intersezione numerabile di aperti densi, è

denso per il teorema di Baire.

Come funzione di

,

è continua. Allora

è un

, perché

è semicontinua inferiormente in

, ed è anche denso perché intersezione di aperti densi.
Conclusione: Esistono


denso e


denso tali che per ogni

e per ogni

, allora la serie di Fourier

.