Successioni

Convergenza puntuale successioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni a valori reali o complessi definite su un medesimo .

converge puntualmente o semplicemente su sse

converge in (o nel caso complesso ), i.e.

e denotiamo funzione limite puntuale la funzione definita su nel modo seguente:

Convergenza uniforme[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni a valori reali o complessi definite su un medesimo .

converge uniformemente su sse

o, equivalentemente,

Criteri di Convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Criterio di Cauchy:

si ha che

Teorema: Sia una successioni di funzioni definite su compatto, ; sia convergente puntualmente a , . Se

allora converge a uniformemente.

Come risolvere gli esercizi[modifica | modifica wikitesto]

Solitamente gli esercizi sulle successioni di funzioni richiedono, data la successione , di studiarne la convergenza (puntuale e uniforme) in un insieme e, nel caso non converga uniformemente in , di trovarne gli intervalli di convergenza.

Vediamo come procedere:

Dominio[modifica | modifica wikitesto]

Data la successione la prima cosa da fare è studiarne il dominio.

Questo aiuterà poi a restringere l’insieme di convergenza uniforme. Ovviamente poiché le dipendono anche dalla si potranno avere diversi domini in dipendenza da .

Ma poiché per ipotesi il dominio di convergenza è comune a tutte le funzioni , , si avrà

Convergenza puntuale[modifica | modifica wikitesto]

Per studiare la convergenza puntuale è sufficiente eseguire il limite:

Eseguendo questo limite si potrà eventualmente notare come converga puntualmente solo per alcuni valori di , restringendo così l’intervallo di convergenza a un insieme in cui converge puntualmente alla funzione .

Convergenza uniforme[modifica | modifica wikitesto]

Per studiare la convergenza uniforme si procede applicando la definizione di convergenza uniforme sull’insieme di convergenza puntuale, ossia si procede verificando la seguente uguaglianza:

Il calcolo dell’estremo superiore può non essere facile.

Tuttavia se è chiuso, e , per il teorema di Weierstrass la funzione:

avrà un massimo in .

Ovviamente questo massimo coincide con l’estremo superiore della medesima funzione. Sarà quindi sufficiente trovare il massimo di tale funzione, e.g. studiando il segno della derivata prima.

Restrizione dell’insieme di convergenza uniforme[modifica | modifica wikitesto]

Può accadere che non converga uniformemente a in , insieme di convergenza puntuale, ossia che:

Sia ora tale che:

Allora è possibile (ed è possibile: Teorema di Egorov) che restringendo anche di "poco" l’insieme a un insieme , questo non sia più contenuto in , e si abbia un nuovo massimo di per cui:

Allora si avrà che converge uniformemente in .


Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Studiare la convergenza della seguente successione

Studiamo prima di tutto la convergenza puntuale. Si ha che (*)

Se invece allora

poiché vale (*) e

Quindi converge puntualmente alla funzione tale che .

Studiamo ora la convergenza uniforme: dobbiamo calcolare la quantità

poiché

Studiamo la derivata prima per trovare il massimo in .

che equivale alla condizione

Posto

avremo

Quindi non convergerà uniformemente in .

Tuttavia possiamo notare come per , e come sia decrescente in .

Poiché ,

quindi nell’insieme il massimo di non sarà più in .

Poiché è decrescente in , a maggior ragione decresce in .

Quindi si avrà che

Quindi convergerà uniformemente in

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