Serie

Convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Similmente, se la serie numerica converge in (o ) allora diremo che la serie converge puntualmente su E.

La funzione

si dirà somma puntuale della serie

Diciamo che la serie converge uniformemente su alla funzione limite se e solo se

Criteri di convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Criterio di Weierstrass[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni su .

Sia e .

Allora converge uniformemente.

Convergenza Uniforme e Continuità[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni continue definite su uniformemente convergenti a . Allora è continua.

Convergenza Uniforme e Integrabilità[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni R-integrabili su , uniformemente convergente a su .

Allora e

Convergenza Uniforme e Differenziabilità[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni differenziabili in .

Supponiamo che esista un per il quale la successione numerica converga e che converga uniformemente in .

Allora converge uniformemente in a una funzione e

Serie di potenze[modifica | modifica wikitesto]

Una serie di potenze è una serie di funzioni della forma

con fissato, è una successione di numeri reali e una variabile reale.

Senza perdita di generalità (è sufficiente comporre con una traslazione) possiamo supporre .

L’insieme di convergenza di una serie è l’insieme degli tali che la serie converge. L’insieme di convergenza di una serie di potenze è sempre un intervallo.

Data la serie di potenze poniamo

La serie di potenze converge se e non converge se .

La definizione si può banalmente estendere in casi particolari:

definito come sopra viene anche detto raggio di convergenza della serie.

Convergenza uniforme[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo che converga per . Poniamo:

Allora converge uniformente a in .

Inoltre e

In particolare:

Serie di Taylor[modifica | modifica wikitesto]

La serie

si chiama serie di Taylor di .

è analitica sse la serie di Taylor di converge a , sse

Come risolvere gli esercizi[modifica | modifica wikitesto]

Per risolvere gli esercizi sulle serie bisogna comunque tenere conto che quanto visto per le successioni continua a valere ancora per le serie. Infatti presa una serie essa può essere vista come

ove è la successione delle somme parziali

Solitamente gli esercizi sulle serie di funzioni richiedono, data la serie , di studiarne la convergenza (puntuale e uniforme) in un insieme e, nel caso non converga uniformemente in , di trovarne gli intervalli di convergenza. Vediamo come procedere.

Dominio[modifica | modifica wikitesto]

La prima cosa da fare è studiarne il dominio della serie. Questo aiuterà poi a restringere l’insieme di convergenza. Ovviamente poiché varrà lo stesso ragionamento fatto per le successioni per le ; si avrà quindi il dominio

Convergenza puntuale[modifica | modifica wikitesto]

Per studiare la convergenza puntuale è sufficiente eseguire il limite

ove è la successione delle somme parziali, ossia per studiare la convergenza puntuale è sufficiente lo studio della convergenza della serie numerica:

Se converge puntualmente solo per alcuni valori di , l'intervallo di convergenza puntuale si restringerà ad un insieme .

Ripasso: Criteri di convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Poiché lo studio della convergenza puntuale richiede lo studio di serie numeriche è utile ricordare alcuni criteri di convergenza delle serie numeriche.

Convergenza assoluta[modifica | modifica wikitesto]

Si dice che una serie numerica converge assolutamente se converge la serie

Se una serie numerica converge assolutamente allora converge.

Criterio della radice[modifica | modifica wikitesto]

Sia una serie numerica definitivamente positiva.

Esista tale che

allora:

  • Se o , allora la serie numerica converge
  • Se allora la serie diverge.
  • Nulla si può dire se
Criterio del rapporto[modifica | modifica wikitesto]

Sia una serie numerica definitivamente positiva.

Esista tale che

allora:

  • Se o , allora la serie numerica converge
  • Se allora la serie diverge.
  • Nulla si può dire se
Criterio di Leibniz[modifica | modifica wikitesto]

Sia una serie numerica tale che:

  • per ogni
  • successione non crescente

Allora la serie converge.

Se converge al valore , si ha la seguente formula per l’errore:

Convergenza Uniforme[modifica | modifica wikitesto]

Per studiare la convergenza uniforme può essere vantaggioso procedere applicando prima di tutto il Criterio di Weierstrass. In tal modo si riduce lo studio della convergenza uniforme allo studio della convergenza di una serie numerica (vedi Criterio di Weierstrass), risolvibile per mezzo dei criteri prima enunciati. In alternativa si può applicare il Criterio di Cauchy, o, in alternativa, cercare di verificare la convergenza dalla definizione, così come si faceva per le successioni.

La verifica attraverso la definizione risulta molto utile per serie a segni alterni del tipo convergenti puntualmente a una funzione per il criterio di Leibniz.

Infatti applicando il corollario del criterio e la definizione di convergenza assoluta si ha che:

Ma poiché è applicabile il criterio di Leibniz, per e, di conseguenza, la serie converge uniformemente poiché

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