Integrali

Misura di un insieme[modifica | modifica wikitesto]

Sia un insieme limitato.

è misurabile è integrabile e


Caratterizzazione degli insiemi misurabili: le seguenti proposizioni sono equivalenti:

(i) è misurabile;
(ii)
(iii) , e in particolar modo questo è vero quando (funzioni continue).

Insieme semplice[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme semplice (rispetto a ) è un insieme E del tipo:

Teorema della funzione inversa[modifica | modifica wikitesto]

Sia definita su un aperto e . Sia e invertibile.

Allora vale:

  1. Esiste ed esiste aperto tale che:
    1. è biunivoca fra e .
  2. La funzione inversa è di classe e si ha che:

Diffeomorfismi tra aperti[modifica | modifica wikitesto]

Sia insieme misurabile generico. Osserviamo che l'integrale su un insieme di misura nulla è nullo (*).

Consideriamo

Allora:

per l'additività dell'integrale.

Se è misurabile, è misurable. Ovviamente: ed inoltre

Da cui, unitamente a (*),

Sia

Se sono verificate le ipotesi del teorema della funzione inversa, allora è un diffeomorfismo locale. Se è iniettiva sull'immagine, allora è un diffeomorfismo globale e vale:

Nell'eventualità che non fosse un diffeomorfismo globale, l'identità precedente vale sull'aperto sui cui è, seppur localmente, un diffeomorfismo globale:

Si osservi che e diffeomorfismo globale: la biunivocità non è un'ipotesi banale.

Nel caso la funzione integranda sia diversa dalla funzione indicatrice dell'insieme , si procede analogamente badando che:

  • ammetta derivate parziali limitate (e.g. limitato e )
  • sia continua e limitata (e.g. limitato e )

Nelle ipotesi precedenti:

Teorema di Fubini (riduzione)[modifica | modifica wikitesto]

Sia integrabile in tale che

allora:

Ove

Grafico di funzione integrabile[modifica | modifica wikitesto]

Se è grafico di una funzione integrabile (e.g. una funzione limitata e continua), .

Cambio di coordinate (diffeomorfismi)[modifica | modifica wikitesto]

Se per risolvere il tuo integrale devi effettuare un cambio di coordinate, devi procedere con cautela.

Sia ad esempio

sia la matrice jacobiana associata, e sia .

Allora, essendo , e , si ha:

nel caso dell’esempio di passaggio alle coordinate polari si ha che , e quindi:

Come risolvere un esercizio[modifica | modifica wikitesto]

Notazione:[modifica | modifica wikitesto]

Sia dominio di integrazione, funzione integranda.

Inoltre

Preliminari[modifica | modifica wikitesto]
  1. Assicurati che sia limitato (per decidere se usare la teoria degli integrali propri o impropri).
  2. Controlla che sia misurabile. In caso negativo fermati.
  3. Controlla che sia integrabile. In caso negativo fermati.
    1. Se le funzioni sono limitate e continue su aperto e misurabile, sono integrabili in . In generale una funzione è integrabile secondo Riemann sse è limitata e discontinua su un insieme di misura nulla.
    2. Se è semplice (dunque compatto) e continua su , . ( è generalmente continua)
Integrazione (in)definita[modifica | modifica wikitesto]
  1. Spera che le primitive siano semplici da trovare.
  • Puoi cercare un insieme semplice , e trasformare in tramite un diffeomorfismo. (vedi le note sopra su cambi di coordinate e prosegui)
  1. Puoi integrare sull’insieme direttamente
  • Cerca di applicare il teorema di Fubini per ricondurti al calcolo di variabili in una dimensione
Integrali impropri di prima specie[modifica | modifica wikitesto]

Sia limitata su un dominio illimitato.

Prima di tutto, verifica che , ovvero:

  1. misurabile
  2. misurabile
  3. Provare che esiste finito
  • Se allora è generalmente continua, limitata, quindi ).


Allora:

Integrali impropri di seconda specie[modifica | modifica wikitesto]

Sia illimitata a segno costante, limitato. Verifica che:

  1. esistono , tutti misurabili (secondo P-J).
  2. (per )
  3. Allora:

Trucchetti[modifica | modifica wikitesto]

  • Ricorda che, data :

  • Sia insieme simmetrico rispetto all'asse (o all'asse ) e "dispari" rispetto all'asse (o all'asse ), i.e. , i.e. dispari ( dispari), allora

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