Funzioni implicite

Funzione implicita[modifica | modifica wikitesto]

Sia . Sia tale che:

Allora, si dice funzione definita implicitamente da rispetto a .

Esistenza e unicità[modifica | modifica wikitesto]

Sia . Sia

Se sono verificate le seguenti ipotesi:

continua e strettamente crescente in , (fissato);

allora:

Inoltre, se è continua in allora anche è continua in .

Se è anche differenziabile in e:

allora è differenziabile, e vale:

Teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia

Ipotesi:

i) e continua in un intorno di
ii) esista, sia continua e non nulla in un intorno di

Allora:

tale che:

Regolarità della funzione implicita[modifica | modifica wikitesto]

Se , allora . In altre parole, ha lo stesso grado di regolarità di .

Funzione implicita rispetto a [modifica | modifica wikitesto]

Con le opportune variazioni, tutte queste conseguenze valgono anche per una funzione

Come risolvere un esercizio[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo il caso in cui si cerchi una funzione . Il caso è del tutto analogo.

  1. Trova l’insieme di definizione della funzione implicita (es. primo quadrante) (quando non richiesto: "in un intorno")
  2. Calcola i limiti per gli estremi di , e valutane il segno.
  3. Valuta se valgono o no le ipotesi del teorema di esistenza e unicità -in grande-
    1. Trova se è continua e controlla che .
    2. Siano e estremi del dominio, calcola e . Se e , cercata.
    3. Altrimenti, prova a cercare un altro intervallo in cui le condizioni sopra sono verificate.
  4. Prova a studiare il segno lungo gli assi.
  5. Studia i limiti di . Supponendo che ad esempio , per definizione: , la cui espressione potrà dare qualche informazione su
  6. Come ultimo punto, prova a studiare gli estremanti di , ricordando che

Trucchetti[modifica | modifica wikitesto]

[senza fonte]

Limiti della funzione implicita[modifica | modifica wikitesto]

Spesso la funzione implicita usa il trucco dello : in questo modo riesci a rendere negative parti di e ad ottenere che vada a 0.

Utilizzo della forma della funzione per semplificare l’espressione di [modifica | modifica wikitesto]

Ogni tanto, studiando , si possono ottenere espressioni non banali, e studiarne il segno può non essere semplice.

Allora si può ricorrere alla definizione della funzione originale, ponendola uguale a 0.

Supponiamo che, ad esempio:

Ovviamente, per definizione di funzione implicita:

Ma nel caso in cui si possa scrivere

Allora si può applicare l’ovvia sostituzione per la quale

che in alcuni casi può semplificare molto l’espressione.

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