Equazioni differenziali ordinarie

Siano e aperto.

Il problema di Cauchy (PC) è la ricerca di soluzioni per il sistema

Una soluzione del problema di Cauchy è una coppia costituita da una funzione differenziabile in tale che:

Sia e risolva il problema di Cauchy, allora è una soluzione continua dell'equazione di Volterra:

Esistenza, unicità e prolungabilità delle soluzioni (TEUP)[modifica | modifica wikitesto]

Nelle ipotesi e notazioni precedenti (Teorema di esistenza ed unicità in piccolo TEUP),

  1. Se allora il (PC) associato ha almeno una soluzione (Teorema di Peano).
  2. Se , allora il (PC) associato ha un'unica soluzione in un opportuno intorno di .

Ricorda: una funzione di classe con è localmente lipschitziana.

Siano e .

Sia , con crescita al più lineare in y, cioè:

Allora la soluzione del (PC)

(ove è un punto qualunque di ) esiste ed è unica ed è definita su .

Teorema di "Buona Uscita" (TBU)[1][modifica | modifica wikitesto]

Sia compatto. Sia un intervallo tale che la coppia sia la soluzione massimale di (PC).

Siano inoltre

Allora il grafico di esce definitivamente da .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

La soluzione di

è

In questo caso . La soluzione è definita in .

Per , il grafico di esce ogni sottoinsieme chiuso e limitato di .

Quindi, la soluzione di un (PC) può essere definita su un intervallo dove o il grafico della soluzione esce ogni sottoinsieme chiuso e limitato di per (e similmente per ).

Teorema di esistenza e unicità in grande o globale (TEUG)[modifica | modifica wikitesto]

Siano e .

Sia con crescita al più lineare in x, cioè

Allora l'unica soluzione di

dove è un punto qualunque in , è definita in .

Teorema del confronto[modifica | modifica wikitesto]

Sia aperto di , ,

Supponiamo che siano rispettivamente soluzioni dei (PC)

Supponiamo che siano definite su

allora

Matrice wronskiana[modifica | modifica wikitesto]

Siano funzioni a valori su definite in .

Si chiama matrice wronskiana di la matrice:

Si chiama altresì wronskiano di :

L'annullarsi del wronskiano è condizione necessaria (ma non sufficiente) per la dipendenza lineare di .

Condizione necessaria e sufficiente affinchè soluzioni su di una medesima equazione lineare omogenea siano linearmente indipendenti è che:

Integrale Generale[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale generale è l'espressione analitica che rappresenta la famiglia di tutte e sole le soluzioni di un'equazione differenziale.

Ad esempio, l'integrale generale, o soluzione generale, di un'equazione differenziale lineare non omogenea è data dalla somma tra una funzione soluzione dell'omogenea associata e una soluzione dell'equazione non omogenea (i.e. l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria lineare è un sottospazio affine dello spazio vettoriale delle funzioni differenziabili su un opportuno dominio). In questo caso, la soluzione particolare dell'equazione non omogenea è anche detta integrale particolare.

Osserva: integrare un'equazione differenziale equivale a risolvere un'equazione differenziale.

Principali tipi di equazioni differenziali[modifica | modifica wikitesto]

Sistemi lineari omogenei[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema lineare omogeneo (LO) di equazioni differenziali è un sistema della forma:

ove

e
Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]
  • Lo spazio delle soluzioni di LO è uno spazio vettoriale di dimensione .
  • Il PC associato a LO ha una e una sola soluzione definita su tutto .
  • ha crescita al più lineare.
  • Se sono soluzioni di LO, queste sono linearmente indipendenti se e solo se
.

Sistemi lineari non omogenei[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema lineare non omogeneo (LNO) di equazioni differenziali è un sistema della forma:

Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia un soluzione di (LNO). Tutte e sole le soluzioni di (LNO) sono allora del tipo

dove è una soluzione qualunque dell'(LO) associato ().

  • Lo spazio delle soluzioni di (LNO) non è un sottospazio affine di dimensione n (i.e. il "traslato" di un sottospazio vettoriale).
  • Se , allora il (PC) ha una e una sola soluzione.
  • Se sono soluzioni di (LO), queste sono linearmente indipendenti se e solo se .

Sistemi lineari omogeni a coefficienti costanti[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema lineare omogeneo a coefficiente costante (LOCC) è un sistema

dove e .

Possiamo esprimere le soluzioni di questo sistema mediante l'esponenziale della matrice , ove è uno scalare. L'esponenziale di matrici gode delle seguenti proprietà:

Soluzione di un'equazione LOCC[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni (vettore colonna) , la funzione è soluzione dell'eq (LOCC) su tutto .

Sistemi lineari non omogenei a coefficienti costanti[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema lineare non omogeneo (a coefficienti costanti) di equazioni differenziali è un sistema del tipo

Ove e sono continue, allora, per ogni punto :

è una soluzione particolare dell'equazione sopra.

Per ottenere una soluzione più specifica, ad esempio ponendo una condizione iniziale quale .

Allora si ha che

ovvero si somma alla soluzione generale del sistema omogeneo associato la soluzione particolare trovata in precedenza.

Vedi anche il metodo di variazione delle costanti arbitrarie.

Metodo di variazione delle costanti arbitrarie[modifica | modifica wikitesto]

Questo metodo (alternativo, e un pochino più semplice) viene utilizzato se conosciamo un sistema fondamentale di soluzioni di un (LO), e cerchiamo almeno una soluzione di un (LNO).

Siano soluzioni di un (LO)

e sia la corrispondente matrice wronskiana.

Ricerchiamo ora una soluzione di (LNO) della forma

ove le nostre incognite sono le varie componenti della funzione

Ricordando che vale la formula:

(per verifica diretta) si trova che, imponendo che l'integrale particolare cercato è:

Equazioni lineari[modifica | modifica wikitesto]

Con un'equazione di forma:

Allora:

ove è una costante.

Equazione di Bernoulli[modifica | modifica wikitesto]

Con un'equazione di forma:

con . Allora, si impone e si risolve l'equazione lineare in :

Trovata con la formula \eqref{eqdifflinearesol}, si ricava .

Equazione di Riccati[modifica | modifica wikitesto]

Conoscendo una soluzione particolare , allora applico la sostituzione

e con un po' di passaggi si dimostra che alla fine
che è lineare.

Variabili separabili[modifica | modifica wikitesto]

Se invece

allora ovviamente si risolve ricordando che

Un'altro tipo di equazioni omogenee[modifica | modifica wikitesto]

Sia

Allora si sostituisce da cui

e dunque
sicché alla fine:

Risostituendo e risolvendo rispetto a si ottiene la soluzione cercata.

Equazioni lineari di ordine [modifica | modifica wikitesto]

Sia (ELOCC)

ove le funzioni . Allora il sistema è equivalente al sistema:

ove

(ogni componente è trattata come componente a sé stante, e non esplicitamente come derivata) e

che si risolve come un (LO) qualunque.

Polinomio caratteristico: Un modo alternativo e più agile per risolvere queste equazioni (ELOCC) è quello di supporre che le soluzioni siano proporzionali a . Sostituendo questo ansatz nell'equazione originale si ottiene un'equazione polinomiale in .

In altre parole: sia , la funzione è soluzione di (ELOCC) se e solo se è uno zero del polinomio caratteristico di (ELOCC) definito da

A questo punto le soluzioni sono del tipo:

ove sono opportune costanti e è la molteplicità della radice con cui compare nel polinomio caratteristico.

Oscillatori armonici[modifica | modifica wikitesto]

Oscillazioni libere[modifica | modifica wikitesto]

Data un'equazione di forma

la soluzione è del tipo

oppure

a seconda della base scelta.

Invece, data un'equazione di forma

questa ha soluzioni reali, più precisamente del tipo

Oscillazioni smorzate[modifica | modifica wikitesto]

Assegnata un'equazione del tipo

la soluzione ha la forma

Caso non omogeneo[modifica | modifica wikitesto]

In un caso del tipo

bisogna sommare una soluzione particolare. Si scopre facilmente che tutte e sole le soluzioni sono fatte in questo modo:

Equazioni differenziali esatte[modifica | modifica wikitesto]

Un'equazione differenziale esatta è una equazione del tipo

Per risolvere questa equazione bisogna trovare una 1-forma differenziale esatta.

Chiamando la funzione di cui è differenziale, si trova che:

che è vero se e solo se

a questo punto l'equazione:

definisce in maniera implicita tutte e sole le soluzioni dell'equazione differenziale esatta di cui sopra.

Nota: condizione necessaria per cui l'equazione differenziale esatta abbia soluzione è la condizione di chiusura della forma differenziale, i.e.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia ad esempio

In questo caso

Se

allora

e derivando rispetto a , questa deve soddisfare la relazione

Dunque

Quindi in particolare e dunque è una costante. L'integrale generale è dunque

Fattore integrante[modifica | modifica wikitesto]

A volte è opportuno moltiplicare denominatore e numeratore per un'opportuna funzione affinché (ove il punto indica la moltiplicazione semplice) sia una forma esatta ( potrebbe non essere esatta, ma esserlo!).

In questo caso:

Se , allora si può riscrivere come:

e se

Trovo che soddisfi quest'ultima equazione e procedo integrando , come sopra.

  1. La denominazione non è classica: è un vezzo degli sviluppatori che, volendosi avvalere durante il corso di tale teorema non titolato, hanno convenuto di nominarlo TBU;
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