Continuità e differenziabilità

Derivata parziale[modifica | modifica wikitesto]

Sia un insieme aperto, e consideriamo . Sia la base standard. La derivata parziale di lungo la direzione , calcolata in è:

Funzione derivabile[modifica | modifica wikitesto]

La funzione si dice derivabile in se è derivabile rispetto a

Derivata direzionale[modifica | modifica wikitesto]

Sia un insieme aperto e consideriamo . La derivata direzionale di lungo la direzione , calcolata in è:

Oppure, solo se è differenziabile:

Funzione derivabile[modifica | modifica wikitesto]

si dice derivabile lungo la direzione in se la derivata direzionale esiste ed è finita.

Osservazione[modifica | modifica wikitesto]

Risulta evidente dalle definizioni che la derivata parziale è una caso particolare della derivata direzionale.

Differenziale[modifica | modifica wikitesto]

Il differenziale è un funzionale lineare che soddisfa la relazione:


Ovvero, supponendo


Come vedremo più avanti, per funzioni si ha che:

Matrice Jacobiana[modifica | modifica wikitesto]

La matrice Jacobiana è definita come:

La matrice Jacobiana è la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare differenziale rispetto alla base canonica.

Teorema del differenziale totale[modifica | modifica wikitesto]

Sia funzione che ammetta derivate parziali in un punto , e che queste siano ivi continue (salvo al più una derivata parziale). Allora è differenziabile in .

Teorema di Schwarz[modifica | modifica wikitesto]

Se la funzione ammette derivate parziali miste in , e queste sono ivi continue, allora in questo punto esse sono uguali ().

Come risolvere un esercizio[modifica | modifica wikitesto]

Continuità in un punto [modifica | modifica wikitesto]

Bisogna ovviamente dimostrare che:

Puoi passare in coordinate polari, ricordando che questa trasformazione non è biunivoca.

Nota: utile per effettuare maggiorazioni, salvo assicurarsi di passare al limite solo dopo aver maggiorato con funzioni che NON dipendano da .

Differenziabilità in un punto [modifica | modifica wikitesto]

Per questo esercizio, in generale, si può procedere in uno dei seguenti modi:

Applicando la definizione, dunque calcolando direttamente , e verificando che valga la definizione, dunque che:

Oppure, applicando il teorema del differenziale totale: bisogna dimostrare che, in un intorno di , ammetta derivate parziali, e che queste siano continue in

A questo punto .

Inoltre, si può anche dimostrare che la funzione non è differenziabile: questo ad esempio se non è lineare.

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