Altre nozioni utili

Trigonometria[modifica | modifica wikitesto]

Formule parametriche[modifica | modifica wikitesto]

ove

In questi casi:

Formule di bisezione[modifica | modifica wikitesto]

Geometria analitica[modifica | modifica wikitesto]

Piano tangente al grafico di una funzione[modifica | modifica wikitesto]

Il piano tangente al grafico di una funzione è:

(che è calcolabile se e solo se è differenziabile in )

Sviluppo in serie di Taylor[modifica | modifica wikitesto]

Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione , centrato in è:

Funzione positivamente omogenea[modifica | modifica wikitesto]

Se , e sia .

Una funzione si dice funzione (positivamente) omogenea di grado se per ogni scelta di variabili si ha che:

Una funzione positivamente omogenea di grado maggiore di 0, è continua in .

Una funzione positivamente omogenea di grado maggiore di 1, è differenziabile in .

Utili maggiorazioni[modifica | modifica wikitesto]

1D[modifica | modifica wikitesto]

2D[modifica | modifica wikitesto]

nD[modifica | modifica wikitesto]

Norme[modifica | modifica wikitesto]

Norme[modifica | modifica wikitesto]

La norma 1 è definita come:

La norma sull’insieme è definita come:

La norma operatoriale è

Mentre la norma di Hilbert-Smidth:

Esponenziale di una matrice[modifica | modifica wikitesto]

Matrice diagonalizzabile nD[modifica | modifica wikitesto]

Ricordiamo la definizione di esponenziale di una matrice:

Calcoliamo effettivamente l'esponenziale di una matrice (senza ricorrere direttamente alla defizione!).

Sia allora una matrice diagonale:

Si può mostrare facilmente che

Analizziamo ora il caso generale. Sia una matrice di dimensione con un sistema completo di autovettori (colonna) riferiti a autovalori .

Definiamo come

è ora ovviamente diagonalizzabile tramite :

e

Allora, con dei semplici passaggi si verifica che

e dunque il calcolo di esponenziale di una matrice qualunque viene ricondotto al calcolo di una matrice diagonale, appena risolto.

Caso particolare: matrice non diagonalizzabile 2D[modifica | modifica wikitesto]

Sia non diagonalizzabile, allora ammette un solo autovalore di molteplicità algebrica 2 e geometrica 1. Sia autovettore relativo all'autovalore , e soluzione del sistema . Allora, secondo il cambiamento di base associato alla matrice , assume la forma

Osserviamo che è nilpotente, i.e. t.c. ; nel nostro caso . Pertanto,

Concludiamo:

E' possibile generalizzare la procedure per matrici di dimensione arbitraria, ricordando che esiste una base rispetto alla quale ogni matrice (a coefficienti in un campo algebricamente chiuso) si scrive come somma di una matrice diagonale e di una nilpotente (FORMA DI JORDAN).

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