Relazioni di equivalenza

Sia R una relazione di equivalenza su un insieme non vuoto X.


Definizione (23)

Se , denotiamo col simbolo l'insieme di tutti e soli gli x tali che . Questo insieme di elementi si chiama classe di equivalenza individuata dall'elemento .

 


Proposizione (24)
  1. , perché vale la proprietà riflessiva e quindi è associato a sé stesso
  2. se , allora la classe di equivalenza di A coincide con la classe di equivalenza di B, cioè . Questo significa che per rappresentare una classe di equivalenza, si può prendere qualsiasi elemento appartenente a questa classe.
  3. se , allora . Ogni elemento di X sta in una sola classe di equivalenza, cioè le classi di equivalenza determinano una partizione di X.
 


L'insieme quoziente è l'insieme di tutte le classi di equivalenza.


Presa la relazione di parallelismo tra rette, le classi di equivalenza sono i fasci di rette parallele.

Se tra le applicazioni di X con sé stesso c'è l'identità.

Proprietà della classe di equivalenza[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (25)

Ogni , denotiamo con la classe di equivalenza che contiene l'elemento che è per definizione

.

 
Lemma (26)

Per ogni , valgono le seguenti proprietà:

  1. se , allora coincide con . Questo significa che ogni classe di equivalenza può essere denotata con qualsiasi suo elemento.
  2. se , allora
 
Dimostrazione
  1. Basta ricordare che vale la proprietà riflessiva.
  2. Supponiamo . Sia . Allora siccome per ipotesi e vale la proprietà transitiva, . Allora ogni elemento nella classe sta anche in . Per simmetria si vede che
  3. Supponiamo per assurdo che . Allora e , ma per simmetria e per la proprietà transitiva e implicano , contraddizione!
 

Partizione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (27)

In generale, sia una collezione di sottoinsiemi non vuoti di . Questa collezione si dice partizione di X se (è unione disgiunta degli ), ovvero ogni elemento di sta in uno solo degli , perché per , .

Gli si chiamano elementi della partizione.

 

Per il lemma precedente, le classi di equivalenza formano una partizione di , perché per il punto 1 ogni elemento di sta in una classe di equivalenza e le classi di equivalenza o coincidono o hanno intersezione vuota.

Viceversa, ogni partizione di un insieme non vuoto da luogo a una relazione di equivalenza su , ponendo se e solo se appartengono allo stesso elemento della partizione .

Insieme quoziente[modifica | modifica wikitesto]

La partizione associata a un insieme si chiama insieme quoziente rispetto a .


Definizione (28)

La partizione di associata a una relazione di equivalenza , cioè l'insieme che ha per elementi le classi di equivalenza si dice insieme quoziente di rispetto a e si denota con .

 


L'applicazione , che associa a ogni elemento di la sua classe di equivalenza, definita ponendo si dice proiezione canonica di su .

Relazione di equivalenza associata a un'applicazione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (29)

Sia un'applicazione. Definiamo la relazione su ponendo , se e solo se .

 


Questa relazione è simmetrica, transitiva e riflessiva. Si dice che è la relazione di equivalenza associata all'applicazione .


Questa relazione coincide con l'identità su se e solo se è iniettiva.

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