Relazioni di equivalenza

Sia R una relazione di equivalenza su un insieme non vuoto X.

Definizione (23)

Se $a\in X$$a\in X$, denotiamo col simbolo $[a]_{R}$$[a]_{R}$ l'insieme di tutti e soli gli x tali che $xRa$$xRa$. Questo insieme di elementi si chiama classe di equivalenza individuata dall'elemento $a$$a$.

 

Proposizione (24)

1. $a\in [a]_{R}$$a\in [a]_{R}$, perché vale la proprietà riflessiva e quindi $a$$a$ è associato a sé stesso
2. se $aRb$$aRb$, allora la classe di equivalenza di A coincide con la classe di equivalenza di B, cioè $[a]_{R}=[b]_{R}$$[a]_{R}=[b]_{R}$. Questo significa che per rappresentare una classe di equivalenza, si può prendere qualsiasi elemento appartenente a questa classe.
3. se $a\not Rb$$a\not Rb$, allora $[a]_{R}\cap [b]_{R}=\emptyset$$[a]_{R}\cap [b]_{R}=\emptyset$. Ogni elemento di X sta in una sola classe di equivalenza, cioè le classi di equivalenza determinano una partizione di X.

 

L'insieme quoziente è l'insieme di tutte le classi di equivalenza.

Presa la relazione di parallelismo tra rette, le classi di equivalenza sono i fasci di rette parallele.

Se $X=Y$$X=Y$ tra le applicazioni di X con sé stesso c'è l'identità.

Proprietà della classe di equivalenza

Definizione (25)

Ogni $a\in X$$a\in X$, denotiamo con $[a]_{R}$$[a]_{R}$ la classe di equivalenza che contiene l'elemento $a$$a$ che è per definizione

$$\{x\in X\ t.c.\ xRa\}$$

$$\{x\in X\ t.c.\ xRa\}$$

.

 

Lemma (26)

Per ogni $a,b\in X$$a,b\in X$, valgono le seguenti proprietà:

1. $a\in [a]_{R}$$a\in [a]_{R}$
2. se $aRb$$aRb$, allora $[a]_{R}$$[a]_{R}$ coincide con $[b]_{R}$$[b]_{R}$. Questo significa che ogni classe di equivalenza può essere denotata con qualsiasi suo elemento.
3. se $a\not Rb$$a\not Rb$, allora $[a]_{R}\cap [b]_{R}=\emptyset$$[a]_{R}\cap [b]_{R}=\emptyset$

 

Dimostrazione

1. Basta ricordare che vale la proprietà riflessiva.
2. Supponiamo $aRb$$aRb$. Sia $xRa,x\in [a]_{R}$$xRa,x\in [a]_{R}$. Allora siccome per ipotesi $aRb$$aRb$ e vale la proprietà transitiva, $xRb$$xRb$. Allora ogni elemento nella classe $[a]_{R}$$[a]_{R}$ sta anche in $[b]_{R}$$[b]_{R}$. Per simmetria si vede che $[a]_{R}\subset [b]_{R}$$[a]_{R}\subset [b]_{R}$
3. Supponiamo per assurdo che $x\in [a]_{R}\cap [b]_{R}$$x\in [a]_{R}\cap [b]_{R}$. Allora $xRa$$xRa$ e $xRb$$xRb$, ma per simmetria $xRa\longrightarrow aRx$$xRa\longrightarrow aRx$ e per la proprietà transitiva $aRx$$aRx$ e $xRb$$xRb$ implicano $aRb$$aRb$, contraddizione!

 

Partizione

Definizione (27)

In generale, sia $\{a_{i}\}_{a_{i}\in X,\,i\in I}$$\{a_{i}\}_{a_{i}\in X,\,i\in I}$ una collezione di sottoinsiemi non vuoti di $X$$X$. Questa collezione si dice partizione di X se $X=\bigcup \{a_{i}\}$$X=\bigcup \{a_{i}\}$ (è unione disgiunta degli $A_{i}$$A_i$), ovvero ogni elemento di $X$$X$ sta in uno solo degli $A_{i}$$A_i$, perché per $i\neq j$$i \neq j$, $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$$A_i \cap A_j = \emptyset$.

Gli $A_{i}$$A_i$ si chiamano elementi della partizione.

 

Per il lemma precedente, le classi di equivalenza $[a]_{R}(a\in X)$$[a]_{R}(a\in X)$ formano una partizione di $X$$X$, perché per il punto 1 ogni elemento di $X$$X$ sta in una classe di equivalenza e le classi di equivalenza o coincidono o hanno intersezione vuota.

Viceversa, ogni partizione di un insieme non vuoto $X$$X$ da luogo a una relazione di equivalenza $R$$R$ su $X$$X$, ponendo $aRb$$aRb$ se e solo se $a,b$$a,b$ appartengono allo stesso elemento $A_{i}$$A_i$ della partizione $\bigcup \{A_{i}\}$$\bigcup \{A_{i}\}$.

Insieme quoziente

La partizione associata a un insieme $X$$X$ si chiama insieme quoziente rispetto a $R$$R$.

Definizione (28)

La partizione di $X$$X$ associata a una relazione di equivalenza $R$$R$, cioè l'insieme che ha per elementi le classi di equivalenza $[a]_{R}$$[a]_{R}$ si dice insieme quoziente di $X$$X$ rispetto a $R$$R$ e si denota con $X/R$$X/R$.

 

L'applicazione $\pi _{R}(X\to X/R)$$\pi _{R}(X\to X/R)$, che associa a ogni elemento di $X$$X$ la sua classe di equivalenza, definita ponendo $\forall a\in X,\pi _{R}(a)=[a]_{R}$$\forall a\in X,\pi _{R}(a)=[a]_{R}$ si dice proiezione canonica di $X$$X$ su $X/R$$X/R$.

Relazione di equivalenza associata a un'applicazione

Definizione (29)

Sia $F(X\to Y)$$F(X\to Y)$ un'applicazione. Definiamo la relazione $R_{F}$$R_{F}$ su $X$$X$ ponendo $\forall a,b\in X$$\forall a,b\in X$, $aR_{F}b$$aR_{F}b$ se e solo se $F(A)=F(B)$$F(A)=F(B)$.

 

Questa relazione è simmetrica, transitiva e riflessiva. Si dice che $R_{F}$$R_{F}$ è la relazione di equivalenza associata all'applicazione $F$$F$.

Questa relazione coincide con l'identità su $X$$X$ se e solo se $F$$F$ è iniettiva.