Proprietà universale della proiezione canonica

Diremo morfismo un'applicazione che conserva le operazioni.


Teorema (30 Teorema di omomorfismo per gli insiemi)

Sia un'applicazione e sia la relazione di equivalenza prima definita, associata a . Sia ora una qualsiasi relazione di equivalenza su , con questa proprietà: (ovvero: quando due elementi sono associati in , lo sono anche in ). Allora denotata con la proiezione canonica associata alla relazione di equivalenza , cioè l'applicazione che associa a ogni elemento di la classe , esiste ed è unica l'applicazione dall'insieme quoziente a tale che sia (proprietà di fattorizzazione). (passare da X a Y mediante equivale a passare prima attraverso la relazione canonica e poi attraverso l'applicazione ).


è tale da rendere commutativo il diagramma: .

 


Dimostrazione

Consideriamo la corrispondenza o relazione che associa ad l'elemento . Bisogna garantire che sia unico, e cioè che l'applicazione sia ben definita. A priori l'applicazione dipende dall'elemento che ho scelto per rappresentare la classe. Devo garantire che se , allora . Questo deriva dal fatto che .


Se , allora e dunque l'immagine di mediante non dipende dalla particolare scelta di come rappresentante.


Pertanto è un'applicazione ben definita da a e ovviamente per costruzione .

Per quanto riguarda l'unicità di , supponiamo che esista tale che . Allora . Allora per come è definita.


La condizione è condizione necessaria e sufficiente affinché il teorema valga.

 

Osservazioni sul teorema[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione (31)

è iniettiva se e solo se il fatto che due elementi hanno la stessa immagine implica che i due elementi siano uguali, cioè se . Ma , quindi . Quindi accade che , ovvero , ovvero (siccome per ipotesi ). L'applicazione risulta iniettiva se e solo se .

 


Osservazione (32)

è suriettiva se e solo se lo è .

 


Osservazione (33)

è biettiva se e solo se e è suriettiva.

 
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