Proprietà generali di operazioni binarie su un insieme X[modifica | modifica wikitesto]
Definizione (34)
Un' operazione binaria sull'insieme
per definizione è un'applicazione
, che a ogni coppia di elementi
, cioè a ogni coppia ordinata
, associa uno e un solo elemento
di
, definito come
.
Proprietà associativa: Un'operazione binaria
è associativa se per ogni
se
. In questa situazione possiamo scrivere
senza usare le parentesi.
Si può dedurre la proprietà associativa generalizzata: se vale la proprietà associativa per terne, allora per induzione su
vale la proprietà associativa generalizzata
produce lo stesso risultato indipendentemente dalle parentesi (provarlo per esercizio).
Proprietà commutativa: per ogni
,
.
Esercizio (35)
Si svolge l'esercizio citato nella definizione di cui sopra. Sappiamo che la proprietà associativa è valida per
.
Passo induttivo: Supponiamo vera la proprietà per
,
, e la dimostriamo per
.
Per il passo indutivo sappiamo che
, allora possiamo scrivere
![{\displaystyle [(a_{1}\ast a_{2}\ast a_{k})\ast a_{k+1}]\ast a_{k+2}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/3a51b885b0d2bcb147676756eca1effa1378c292)
Si ritorna nel caso

e quindi la proprietà associativa è valida.
Definizione (36)
Un elemento
si dice unità sinistra rispetto a
se per ogni
,
.
Un elemento
si dice unità destra se
.
si dice unità bilatera se
.
Proposizione (37)
Se esistono un'unità sinistra
e un'unità destra
rispetto a
, allora
.
è l'unica unità sinistra;
è l'unica unità destra;
è l'unica unità bilatera.
Dimostrazione
- (
) Basta considerare
per le definizioni scritte prima.
- (
è l'unica unità sinistra) Supponiamo che
sia un'altra unità sinistra. allora per il punto 1
, quindi 
Definizione (38)
Sia
un'operazione binaria con unità
. Allora
- un elemento
si dice inverso sinistro di
se 
- un elemento
si dice inverso destro di un elemento
se 
- un elemento
si dice inverso bilatero di
se 
Nel caso valga la proprietà associativa, l'esistenza di un'inversa sinistra e di un'inversa destra implica che queste coincidono e siano inverse bilatere.
Proposizione (39)
Se per
esistono un'inversa sinistra
e un inverso destro
e inoltre
è associativa, allora:

è inverso bilatero di 
è l'unico inverso sinistro e
è l'unico inverso destro e
è l'unico inverso bilatero.
Dimostrazione
Posso scrivere
, ma siccome l'operazione è associativa, questo è uguale a
. Il primo termine
. Quindi segue che
Si può dimostrare l'unicità.
Definizione (40)
Sia
un'operazione binaria definita su
. Un sottoinsieme
non vuoto di
si dice chiuso rispetto a
se per ogni
,
, cioè
.
Se ho un sottoinsieme chiuso, si può definire la restrizione di
a
, cioè l'applicazione, indicata con
tale che
,
.
Ogni proprietà di tipo equazionale di
sugli elementi di
si eredita alla restrizione
.
Ad esempio, preso l'insieme
degli insiemi relativi e
l'insieme dei naturali, la somma definita in
a valori in
è ancora associativa, ma mentre in
c'è l'unità rispetto alla somma, l'unità non è un numero naturale. Preso un numero relativo, esso ha l'inverso rispetto alla somma, ma non vale lo stesso per i naturali.
In
solo
e
ha inverso rispetto al prodotto.
In
ogni numero ha inverso rispetto al prodotto, ma restringendo l'operazione a
questo non avviene.
Definizione (42)
Dati due insiemi
e
non vuoti e sia
, che associa alla coppia ordinata
un
unico elemento di
. In questo caso si dice che
opera o agisce su
.
Definizione (43)
Una struttura algebrica in generale è data da un insieme non vuoto
nel quale si definiscono una o più
operazioni
, con
(operazioni n-arie), e eventualmente operazioni esterne
.
Definizione (44)
Due strutture algebriche si possono ritenere isomorfe o equivalenti quando si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi e una corrispondenza opportuna tra le rispettive operazioni.