Operazioni binarie

Proprietà generali di operazioni binarie su un insieme X

Definizione (34)

Un' operazione binaria sull'insieme $X$$X$ per definizione è un'applicazione $\ast \colon X^{2}\to X$$\ast \colon X^{2}\to X$, che a ogni coppia di elementi $a,b\in X$$a,b\in X$, cioè a ogni coppia ordinata $(a,b)\in X^{2}$$(a,b)\in X^{2}$, associa uno e un solo elemento di $X$$X$, definito come $a\ast b$$a\ast b$.

Proprietà associativa: Un'operazione binaria $\ast$$\ast$ è associativa se per ogni $a,b,c\in X$$a,b,c\in X$ se $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$. In questa situazione possiamo scrivere $a\ast b\ast c$$a\ast b\ast c$ senza usare le parentesi.

Si può dedurre la proprietà associativa generalizzata: se vale la proprietà associativa per terne, allora per induzione su $n$$n$ vale la proprietà associativa generalizzata $a_{1}\ast a_{2}\ast \dots \ast a_{n}$$a_{1}\ast a_{2}\ast \dots \ast a_{n}$ produce lo stesso risultato indipendentemente dalle parentesi (provarlo per esercizio).

Proprietà commutativa: per ogni $a,b\in X$$a,b\in X$, $a\ast b=b\ast a$$a\ast b=b\ast a$.

 

Esercizio (35)

Si svolge l'esercizio citato nella definizione di cui sopra. Sappiamo che la proprietà associativa è valida per $n=3$$n=3$.

Passo induttivo: Supponiamo vera la proprietà per $n=k$$n=k$, $k\geq 3$$k\geq 3$, e la dimostriamo per $n=k+2$$n=k+2$.

$\{[(a_{1}\ast a_{2})\ast a_{k}]\ast a_{k+1}\}\ast a_{k+2}=$$\{[(a_{1}\ast a_{2})\ast a_{k}]\ast a_{k+1}\}\ast a_{k+2}=$ Per il passo indutivo sappiamo che $(a_{1}\ast a_{2})\ast a_{k}=a_{1}\ast a_{2}\ast a_{k}$$(a_{1}\ast a_{2})\ast a_{k}=a_{1}\ast a_{2}\ast a_{k}$, allora possiamo scrivere

$$[(a_{1}\ast a_{2}\ast a_{k})\ast a_{k+1}]\ast a_{k+2}$$

$$[(a_{1}\ast a_{2}\ast a_{k})\ast a_{k+1}]\ast a_{k+2}$$

Si ritorna nel caso $k=3$$k=3$ e quindi la proprietà associativa è valida.

 

Unità destra, sinistra e bilatera

Definizione (36)

Un elemento $u_{s}\in X$$u_{s}\in X$ si dice unità sinistra rispetto a $\ast$$\ast$ se per ogni $x\in X$$x \in X$, $u_{s}\ast x=x$$u_{s}\ast x=x$.

Un elemento $u_{d}$$u_{d}$ si dice unità destra se $x\ast u_{d}=x$$x\ast u_{d}=x$.

$u$$u$ si dice unità bilatera se $u\ast x=x\ast u=x$$u\ast x=x\ast u=x$.

 

Proposizione (37)

Se esistono un'unità sinistra $u_{s}$$u_{s}$ e un'unità destra $u_{d}$$u_{d}$ rispetto a $\ast$$\ast$, allora

1. $u_{s}=u_{d}$$u_{s}=u_{d}$.
2. $u_{s}$$u_{s}$ è l'unica unità sinistra;
3. $u_{d}$$u_{d}$ è l'unica unità destra;
4. $u_{s}=u_{d}=u$$u_{s}=u_{d}=u$ è l'unica unità bilatera.

 

Dimostrazione

1. ($u_{s}=u_{d}$$u_{s}=u_{d}$) Basta considerare $u_{s}\ast u_{d}=u_{s}=u_{d}$$u_{s}\ast u_{d}=u_{s}=u_{d}$ per le definizioni scritte prima.
2. ($u_{s}$$u_{s}$ è l'unica unità sinistra) Supponiamo che ${\bar {u_{s}}}$${\bar {u_{s}}}$ sia un'altra unità sinistra. allora per il punto 1 ${\bar {u_{s}}}=u_{d}=u_{s}$${\bar {u_{s}}}=u_{d}=u_{s}$, quindi ${\bar {u_{s}}}=u_{s}$${\bar {u_{s}}}=u_{s}$

 

Inverso sinistro, destro e bilatero

Definizione (38)

Sia $\ast \colon X^{2}\to X$$\ast \colon X^{2}\to X$ un'operazione binaria con unità $u$$u$. Allora

1. un elemento $x_{s}$$x_{s}$ si dice inverso sinistro di $x\in X$$x \in X$ se $x_{s}\ast x=u$$x_{s}\ast x=u$
2. un elemento $x_{d}$$x_{d}$ si dice inverso destro di un elemento $x\in X$$x \in X$ se $x\ast x_{d}=u$$x\ast x_{d}=u$
3. un elemento ${\bar {x}}$$\bar x$ si dice inverso bilatero di $X$$X$ se ${\bar {x}}\ast x=x\ast {\bar {x}}=u$${\bar {x}}\ast x=x\ast {\bar {x}}=u$

 

Nel caso valga la proprietà associativa, l'esistenza di un'inversa sinistra e di un'inversa destra implica che queste coincidono e siano inverse bilatere.

Proposizione (39)

Se per $x\in X$$x \in X$ esistono un'inversa sinistra $x_{s}$$x_{s}$ e un inverso destro $x_{d}$$x_{d}$ e inoltre $\ast$$\ast$ è associativa, allora:

1. $x_{s}=x_{d}$$x_{s}=x_{d}$
2. $x_{s}=x_{d}={\bar {x}}$$x_{s}=x_{d}={\bar {x}}$ è inverso bilatero di $X$$X$
3. $x_{s}$$x_{s}$ è l'unico inverso sinistro e $x_{d}$$x_{d}$ è l'unico inverso destro e ${\bar {x}}$$\bar x$ è l'unico inverso bilatero.

 

Dimostrazione

Posso scrivere $(x_{s}\ast x)\ast x_{d}$$(x_{s}\ast x)\ast x_{d}$, ma siccome l'operazione è associativa, questo è uguale a $x_{s}\ast (x\ast x_{d})$$x_{s}\ast (x\ast x_{d})$. Il primo termine $(x_{s}\ast x)\ast x_{d}=u\ast x_{d}=x_{s}\ast (x\ast x_{d})=x_{s}\ast u$$(x_{s}\ast x)\ast x_{d}=u\ast x_{d}=x_{s}\ast (x\ast x_{d})=x_{s}\ast u$. Quindi segue che $x_{s}\ast u=u\ast x_{d}=x_{s}=x_{d}$$x_{s}\ast u=u\ast x_{d}=x_{s}=x_{d}$

Si può dimostrare l'unicità.

 

Insieme chiuso rispetto a un'operazione

Definizione (40)

Sia $\ast$$\ast$ un'operazione binaria definita su $X$$X$. Un sottoinsieme $Y$$Y$ non vuoto di $X$$X$ si dice chiuso rispetto a $\ast$$\ast$ se per ogni $y_{1},y_{2}\in Y$$y_{1},y_{2}\in Y$, $y_{1}\ast y_{2}\in Y$$y_{1}\ast y_{2}\in Y$, cioè $\ast Y^{2}\in Y$$\ast Y^{2}\in Y$.

Se ho un sottoinsieme chiuso, si può definire la restrizione di $\ast$$\ast$ a $Y$$Y$, cioè l'applicazione, indicata con $\ast _{Y}\colon Y^{2}\to Y$$\ast _{Y}\colon Y^{2}\to Y$ tale che $\forall y_{1},y_{2}\in Y$$\forall y_{1},y_{2}\in Y$, $y_{1}\ast _{Y}y_{2}=y_{1}\ast y_{2}$$y_{1}\ast _{Y}y_{2}=y_{1}\ast y_{2}$.

 

Osservazione (41)

Ogni proprietà di tipo equazionale di $\ast$$\ast$ sugli elementi di $Y$$Y$ si eredita alla restrizione $\ast _{Y}$$\ast _{Y}$.

 

Ad esempio, preso l'insieme $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ degli insiemi relativi e $\mathbb {N} \smallsetminus (0)$$\mathbb {N} \smallsetminus (0)$ l'insieme dei naturali, la somma definita in $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ a valori in $\mathbb {N}$$\mathbb {N}$ è ancora associativa, ma mentre in $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ c'è l'unità rispetto alla somma, l'unità non è un numero naturale. Preso un numero relativo, esso ha l'inverso rispetto alla somma, ma non vale lo stesso per i naturali. In $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ solo $1$$1$ e $-1$$-1$ ha inverso rispetto al prodotto.

In $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ ogni numero ha inverso rispetto al prodotto, ma restringendo l'operazione a $\mathbb {N}$$\mathbb {N}$ questo non avviene.

Operazioni binarie esterne

Definizione (42)

Dati due insiemi $E$$E$ e $X$$X$ non vuoti e sia $\ast \colon E\times X\to X$$\ast \colon E\times X\to X$, che associa alla coppia ordinata $(e,x)$$(e,x)$ un unico elemento di $X$$X$. In questo caso si dice che $E$$E$ opera o agisce su $X$$X$.

 

Definizione (43)

Una struttura algebrica in generale è data da un insieme non vuoto $X$$X$ nel quale si definiscono una o più operazioni $\ast _{1},\ast _{2},\ast _{n}$$\ast _{1},\ast _{2},\ast _{n}$, con $n>2$$n>2$ (operazioni n-arie), e eventualmente operazioni esterne $\ast _{e_{1}},\ast _{e_{2}},\ast _{e_{n}}$$\ast _{e_{1}},\ast _{e_{2}},\ast _{e_{n}}$.

 

Definizione (44)

Due strutture algebriche si possono ritenere isomorfe o equivalenti quando si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi e una corrispondenza opportuna tra le rispettive operazioni.