Operazioni
Un'operazione binaria è un'applicazione su ogni coppia di interi. Unione e intersezione possono essere considerate come operazioni interne binarie definite sull'insieme delle parti
Una struttura algebrica è un insieme non vuoto sul quale sono definite una o più operazioni binarie, che a ogni coppia di elementi dell'insieme associano un'altro elemento dell'insieme univocamente determinato. Un esempio di operazione esterna è il prodotto scalare per vettore, che coinvolge anche insiemi esterni.
La terna , data dall'insieme non vuoto delle parti di U nel quale sono definite le operazioni unione e intersezione, è una struttura algebrica.
Proprietà formali di unione e intersezione[modifica | modifica wikitesto]
Unione e intersezione operazioni hanno alcune proprietà formali:
- , cioè l'operazione di unione è commutativa. Analogamente
- Se , (proprietà associativa). Analogamente
- per ogni A e B, , e (proprietà di assorbimento)
- presi tre insiemi , allora (proprietà distributiva), analogamente ;
Una struttura algebrica nella quale le operazioni soddisfano queste proprietà si chiama reticolo distributivo (netice).
Quindi l'insieme delle parti con queste proprietà si dice reticolo distributivo.
Elementi neutri[modifica | modifica wikitesto]
, cioè se compongo l'insieme vuoto con un qualsiasi insieme di U ottengo l'elemento preso.
L'elemento è l'elemento neutro rispetto all'unione (chiamato 0 del reticolo).
Si ha , quindi l'insieme universo è l'elemento neutro rispetto all'intersezione (chiamato 1 del reticolo).
L'elemento neutro rispetto a un'operazione è unico.
Complementazione[modifica | modifica wikitesto]
Nel reticolo si può introdurre un'operazione unaria, che a un elemento dell'insieme U ne associa un altro univocamente determinato. Questa operazione è la complementazione e ad ogni insieme A associa il complementare, cioè l'insieme di tutti gli elementi dell'universo che non stanno in A. si chiama complemento di U. Anche questa operazione ha proprietà formali:
.
In generale un insieme non vuoto con due operazioni binarie soddisfacenti le proprietà formali di unione e intersezione e un'operazione unaria con le proprietà della complementazione si chiama algebra di Boole.
Nelle proprietà commutativa, associativa, unione e intersezione hanno un ruolo duale.
Provare che valgono le proprietà distributive equivale a provare che e viceversa. Le prime tre coppie di assiomi includono il principio di dualità.
Si possono legare unioni e intersezione con le proprietà di assorbimento. Per legare la complementazione alle operazioni precedenti si usano le leggi
- . Il complemento dell'intersezione è uguale all'unione dei complementi.
- (per il teorema duale)
Unione e intersezione di più insiemi[modifica | modifica wikitesto]
Nell'insieme universo prendiamo una collezione di insiemi qualsiasi: . Allora è necessario definire l'unione di tutti gli , cioè
Analogamente