Operazioni

Un'operazione binaria è un'applicazione su ogni coppia di interi. Unione e intersezione possono essere considerate come operazioni interne binarie definite sull'insieme delle parti $P(U)$$P(U)$

Una struttura algebrica è un insieme non vuoto sul quale sono definite una o più operazioni binarie, che a ogni coppia di elementi dell'insieme associano un'altro elemento dell'insieme univocamente determinato. Un esempio di operazione esterna è il prodotto scalare per vettore, che coinvolge anche insiemi esterni.

La terna $P(U),\cap ,\cup$$P(U),\cap ,\cup$, data dall'insieme non vuoto delle parti di U nel quale sono definite le operazioni unione e intersezione, è una struttura algebrica.

Proprietà formali di unione e intersezione

Unione e intersezione operazioni hanno alcune proprietà formali:

1. $A\cup B=B\cup A$$A\cup B=B\cup A$, cioè l'operazione di unione è commutativa. Analogamente $A\cap B=B\cap A$$A\cap B=B\cap A$
2. Se $A,B,C\subset P(U)$$A,B,C\subset P(U)$, $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ (proprietà associativa). Analogamente $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
3. per ogni A e B, $A\cup (A\cap B)=A$$A\cup (A\cap B)=A$, e $A\cap (A\cup B)=A$$A\cap (A\cup B)=A$ (proprietà di assorbimento)
4. presi tre insiemi $A,B,C$$A,B,C$, allora $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ (proprietà distributiva), analogamente $A\cap (B\cup C)=(A\cap C)\cup (A\cap C)$$A\cap (B\cup C)=(A\cap C)\cup (A\cap C)$;

Una struttura algebrica nella quale le operazioni soddisfano queste proprietà si chiama reticolo distributivo (netice).

Quindi l'insieme delle parti con queste proprietà si dice reticolo distributivo.

Elementi neutri

$\emptyset \cup A=A$$\emptyset \cup A=A$, cioè se compongo l'insieme vuoto con un qualsiasi insieme di U ottengo l'elemento preso.

L'elemento $\emptyset$$\emptyset$ è l'elemento neutro rispetto all'unione (chiamato 0 del reticolo).

Si ha $U\cap A=A$$U\cap A=A$, quindi l'insieme universo è l'elemento neutro rispetto all'intersezione (chiamato 1 del reticolo).

L'elemento neutro rispetto a un'operazione è unico.

Complementazione

Nel reticolo $P(U)$$P(U)$ si può introdurre un'operazione unaria, che a un elemento dell'insieme U ne associa un altro univocamente determinato. Questa operazione è la complementazione e ad ogni insieme A associa il complementare, cioè l'insieme di tutti gli elementi dell'universo che non stanno in A. $A'$$A'$ si chiama complemento di U. Anche questa operazione ha proprietà formali:

$A\cup A'=U=1,\quad A\cap A'=\emptyset =0\forall A$$A\cup A'=U=1,\quad A\cap A'=\emptyset =0\forall A$.

Definizione (4)

In generale un insieme non vuoto con due operazioni binarie soddisfacenti le proprietà formali di unione e intersezione e un'operazione unaria con le proprietà della complementazione si chiama algebra di Boole.

 

Nelle proprietà commutativa, associativa, unione e intersezione hanno un ruolo duale.

Provare che valgono le proprietà distributive equivale a provare che $A\cup (B\cap C)\subset (A\cap B)\cup (B\cup C)$$A\cup (B\cap C)\subset (A\cap B)\cup (B\cup C)$ e viceversa. Le prime tre coppie di assiomi includono il principio di dualità.

Esercizio (5)

Si possono legare unioni e intersezione con le proprietà di assorbimento. Per legare la complementazione alle operazioni precedenti si usano le leggi

1. $(A\cap B)'=A'\cup B'$$(A\cap B)'=A'\cup B'$. Il complemento dell'intersezione è uguale all'unione dei complementi.
2. $(A\cup B)'=A'\cap B'$$(A\cup B)'=A'\cap B'$ (per il teorema duale)

 

Unione e intersezione di più insiemi

Nell'insieme universo $U$$U$ prendiamo una collezione di insiemi qualsiasi: $\{A_{i}\in P(U)\}_{i\in I}$$\{A_{i}\in P(U)\}_{i\in I}$. Allora è necessario definire l'unione di tutti gli $A_{i}$$A_i$, cioè $\bigcup \{A_{i}\}=\{x\in U\,t.c.\,\exists i\in I\,t.c.x\in A_{i}\}$$\bigcup \{A_{i}\}=\{x\in U\,t.c.\,\exists i\in I\,t.c.x\in A_{i}\}$

Analogamente $\bigcap _{i\in I}\{A_{i}\}=\{x\in U\,t.c.\forall i\in I\,x\in A_{i}\}$$\bigcap _{i\in I}\{A_{i}\}=\{x\in U\,t.c.\forall i\in I\,x\in A_{i}\}$