Insiemi

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

La nozione di insieme viene assunta come intuitiva. Un insieme è una collezione di oggetti.


Tutti gli insiemi sono sottoinsiemi dell'insieme universo e sono fatti da oggetti chiamati elementi. Gli insiemi verranno indicati con lettere maiuscole.


Dato un insieme si definiscono elementi di gli oggetti dell'insieme, che si indicano con lettere minuscole.


La scrittura significa che è un oggetto di .


Se invece non è un oggetto di , si scrive .


L'insieme vuoto si denota con .


Diremo che un insieme è un sottoinsieme dell'insieme se è contenuto in ().


Due insiemi coincidono se sono ciascuno un sottoinsieme dell'altro e si scrive .


Per dimostrare che due insiemi sono uguali bisogna dimostrare che ogni elemento del primo è contenuto nel secondo e viceversa.


Chiamiamo l'insieme universo. Gli insiemi in un contesto dato sono tutti sottoinsiemi di . L'insieme di tutti i sottoinsiemi di , chiamato insieme delle parti di U, si indica con .

Insiemi finiti o infiniti[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme è finito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali fino a un dato .

Definizione (1 Definizione di Galileo)

Un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme proprio.

 

Ad esempio, gli interi relativi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli interi pari.


Dati due interi esistono e sono unici interi e tali che si può scrivere , e .


Gli interi sono ordinabili sulla retta reale.

Famiglia di insiemi[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme finito , i suoi oggetti si indicano , e questi oggetti sono a due a due distinti, l'ordine con cui gli oggetti sono scritti è ininfluente e si definisce la cardinalità dell'insieme.

Si può esprimere come l'insieme di tutti gli oggetti e è un insieme di indici.


Anche quando , l'insieme X non è una successione. Se , . In una successione invece ci possono essere ripetizioni.

Predicati[modifica | modifica wikitesto]

Si può specificare un insieme mediante un predicato.


Presa una variabile e chiamato un predicato, allora posso definire un insieme come per i quali è vera.


Se considero sull'intervallo reale l'intervallo chiuso e limitato , .

Unione e intersezione[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni coppia di insiemi e si possono costruire l'unione e l'intersezione dei due insiemi.


Siano .


Definizione (2)

L'unione di e indicato con è per definizione tali che , oppure e contemporaneamente.

 


Definizione (3)

L'intersezione è l'insieme degli che appartengono a entrambi gli insiemi, cioè tali che e .

 



Se dati due insiemi A e B chiamo l'insieme degli elementi di A che non stanno in B e l'insieme degli elementi di B che non stanno in A, .

Successivo