Applicazioni
Notazione[modifica | modifica wikitesto]
Una relazione tra un insieme e un insieme si dice applicazione se
In una relazione in generale un elemento x può essere associato a più elementi o a nessuno: nell'applicazione questo non avviene.
Si scrive , X è il dominio e Y è il codominio di .
Se è associato a si scrive oppure .
è l'immagine di e è una preimmagine di .
Preso un qualsiasi sottoinsieme denotiamo come l'immagine di tutti gli elementi di cioè
In generale, è un sottoinsieme di .
Iniettività, suriettività e biettività[modifica | modifica wikitesto]
- Diremo che è suriettiva se , cioè se ogni elemento del codominio ha almeno una preimmagine.
- si dice iniettiva se presi due elementi , implica che
- si dice biettiva se ogni elemento di ha una sola preimmagine in , cioè se F è sia suriettiva che iniettiva. Di conseguenza X e Y hanno la stessa cardinalità.
Restrizione di un'applicazione[modifica | modifica wikitesto]
Se e , posso considerare , e si definisce restrizione di F al sottoinsieme S.
Preso un sottoinsieme dell'identità, la restrizione dell'identità a un sottoinsieme viene chiamata relazione di inclusione.
esempi[modifica | modifica wikitesto]
Presa la funzione definita assegnando come immagine di ogni il suo quadrato, essa non è ne suriettiva ne iniettiva.
Se restringo il codominio a ottengo una funzione suriettiva.
Fissato un reale positivo . chiamo la funzione (funzione esponenziale in base a). se ; se . La funzione è iniettiva.
Sia n un fissato intero relativo e consideriamo l'applicazione che consiste nell'associare a ogni intero z il multiplo .
Se , è l'identità ed è biettiva. è la mappa nulla. Se , è iniettiva ma non suriettiva.
Successione[modifica | modifica wikitesto]
Dati due insiemi non vuoti X e Y, possiamo considerare l'insieme di tutte le applicazioni da X a Y. Si denota questo insieme con la forma .
Se e se considero , allora si ottiene una lista indicata con , questa è la lista delle immagini degli elementi di e non è un insieme, perché le immagini si possono anche ripetere. Se considero gli elementi l'immagine è .
Se Y è l'insieme dei reali e X è l'insieme degli interi maggiori uguali di 0, l'insieme delle funzioni da X a Y sono dette successioni.
Prodotto di applicazioni[modifica | modifica wikitesto]
Siccome le funzioni sono tipi particolari di applicazioni, si può definire la composizione di funzioni.
Sia e , allora si può definire che è a sua volta un'applicazione.
Per dimostrarlo, si utilizza la definizione di composizioni e si mostra che a ogni y viene associata una e una sola immagine v in V.
equivale a .
Il prodotto di applicazioni è associativo e in generale non commutativo.
Componendo f a destra con l'identità su x ottengo ancora f. Componendo f a sinistra con l'identità su y ottengo ancora f. In simboli . Per ogni f l'identità su y è l'elemento neutro rispetto al prodotto e l'identità su x è l'elemento neutro a destra rispetto al prodotto.
Se f e g sono applicazioni e considero il prodotto , se f e g sono entrambe suriettive, iniettive o biettive, il prodotto è rispettivamente suriettivo, iniettivo e biettivo.
Applicazione inversa[modifica | modifica wikitesto]
Sia F un'applicazione da un insieme X a un insieme Y e sia g un'applicazione da Y a X. Si possono considerare entrambi i prodotti e . g è un'inversa sinistra di f se e f è un'inversa destra di g. Se inoltre si ha che , allora g è un'inversa (bilatera) di f e similmente f è un'inversa bilatera di g.
Il prodotto cartesiano di un numero anche infinito di insiemi non è vuoto.
Si possono dimostrare le seguenti condizioni necessarie e sufficienti:
- un'applicazione ammette un'inversa sinistra se e solo se è iniettiva.
- un'applicazione ammette un'inversa destra se e solo se è suriettiva;
- un'applicazione ammette un'inversa bilatera se e solo se è biettiva e tale inversa è unica ed è biettiva e la si chiama .
Un'applicazione lineare è invertibile se e solo se è biettiva.