Applicazioni

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (15)

Una relazione tra un insieme e un insieme si dice applicazione se

In una relazione in generale un elemento x può essere associato a più elementi o a nessuno: nell'applicazione questo non avviene.


Si scrive , X è il dominio e Y è il codominio di .


Se è associato a si scrive oppure .


è l'immagine di e è una preimmagine di .


Preso un qualsiasi sottoinsieme denotiamo come l'immagine di tutti gli elementi di cioè

 


In generale, è un sottoinsieme di .

Iniettività, suriettività e biettività[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (16)
  1. Diremo che è suriettiva se , cioè se ogni elemento del codominio ha almeno una preimmagine.
  2. si dice iniettiva se presi due elementi , implica che
  3. si dice biettiva se ogni elemento di ha una sola preimmagine in , cioè se F è sia suriettiva che iniettiva. Di conseguenza X e Y hanno la stessa cardinalità.
 

Restrizione di un'applicazione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (17)

Se e , posso considerare , e si definisce restrizione di F al sottoinsieme S.

 


Preso un sottoinsieme dell'identità, la restrizione dell'identità a un sottoinsieme viene chiamata relazione di inclusione.

esempi[modifica | modifica wikitesto]

Presa la funzione definita assegnando come immagine di ogni il suo quadrato, essa non è ne suriettiva ne iniettiva.


Se restringo il codominio a ottengo una funzione suriettiva.


Fissato un reale positivo . chiamo la funzione (funzione esponenziale in base a). se ; se . La funzione è iniettiva.


Sia n un fissato intero relativo e consideriamo l'applicazione che consiste nell'associare a ogni intero z il multiplo . Se , è l'identità ed è biettiva. è la mappa nulla. Se , è iniettiva ma non suriettiva.

Successione[modifica | modifica wikitesto]

Dati due insiemi non vuoti X e Y, possiamo considerare l'insieme di tutte le applicazioni da X a Y. Si denota questo insieme con la forma .


Se e se considero , allora si ottiene una lista indicata con , questa è la lista delle immagini degli elementi di e non è un insieme, perché le immagini si possono anche ripetere. Se considero gli elementi l'immagine è .

Definizione (18)

Se Y è l'insieme dei reali e X è l'insieme degli interi maggiori uguali di 0, l'insieme delle funzioni da X a Y sono dette successioni.

 

Prodotto di applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Siccome le funzioni sono tipi particolari di applicazioni, si può definire la composizione di funzioni.


Proposizione (19)

Sia e , allora si può definire che è a sua volta un'applicazione.

 
Dimostrazione

Per dimostrarlo, si utilizza la definizione di composizioni e si mostra che a ogni y viene associata una e una sola immagine v in V.

 



equivale a .


Il prodotto di applicazioni è associativo e in generale non commutativo.


Componendo f a destra con l'identità su x ottengo ancora f. Componendo f a sinistra con l'identità su y ottengo ancora f. In simboli . Per ogni f l'identità su y è l'elemento neutro rispetto al prodotto e l'identità su x è l'elemento neutro a destra rispetto al prodotto.


Proposizione (20)

Se f e g sono applicazioni e considero il prodotto , se f e g sono entrambe suriettive, iniettive o biettive, il prodotto è rispettivamente suriettivo, iniettivo e biettivo.

 

Applicazione inversa[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (21)

Sia F un'applicazione da un insieme X a un insieme Y e sia g un'applicazione da Y a X. Si possono considerare entrambi i prodotti e . g è un'inversa sinistra di f se e f è un'inversa destra di g. Se inoltre si ha che , allora g è un'inversa (bilatera) di f e similmente f è un'inversa bilatera di g.

 


Proposizione (22)

Il prodotto cartesiano di un numero anche infinito di insiemi non è vuoto.

 

Si possono dimostrare le seguenti condizioni necessarie e sufficienti:

  1. un'applicazione ammette un'inversa sinistra se e solo se è iniettiva.
  2. un'applicazione ammette un'inversa destra se e solo se è suriettiva;
  3. un'applicazione ammette un'inversa bilatera se e solo se è biettiva e tale inversa è unica ed è biettiva e la si chiama .


Un'applicazione lineare è invertibile se e solo se è biettiva.

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