Applicazioni

Notazione

Definizione (15)

Una relazione $f$$f$ tra un insieme $X$$X$ e un insieme $Y$$Y$ si dice applicazione se

$$\forall x\in X\ ,\exists !y\in Y\ ,|(x,y)\in f$$

$$\forall x\in X\ ,\exists !y\in Y\ ,|(x,y)\in f$$

In una relazione in generale un elemento x può essere associato a più elementi o a nessuno: nell'applicazione questo non avviene.

Si scrive $F:X\to Y$$F:X\to Y$, X è il dominio e Y è il codominio di $F$$F$.

Se $x$$x$ è associato a $y$$y$ si scrive $y=f(x)$$y=f(x)$ oppure $x\to y$$x\to y$.

$y$$y$ è l'immagine di $x$$x$ e $x$$x$ è una preimmagine di $y$$y$.

Preso un qualsiasi sottoinsieme $S\in X$$S\in X$ denotiamo come $F(S)$$F(S)$ l'immagine di tutti gli elementi di $S$$S$ cioè $\{f(s),\,s\in S\}$$\{f(s),\,s\in S\}$

 

In generale, $f(x)$$f(x)$ è un sottoinsieme di $Y$$Y$.

Iniettività, suriettività e biettività

Definizione (16)

1. Diremo che $F\colon X\to Y$$F\colon X\to Y$ è suriettiva se $F(X)=Y$$F(X)=Y$, cioè se ogni elemento del codominio ha almeno una preimmagine.
2. $F\colon X\to Y$$F\colon X\to Y$ si dice iniettiva se presi due elementi $X_{1},X_{2}\in X$$X_{1},X_{2}\in X$, $F(X_{1})=F(X_{2})$$F(X_{1})=F(X_{2})$ implica che $X_{1}=X_{2}$$X_{1}=X_{2}$
3. $F\colon X\to Y$$F\colon X\to Y$ si dice biettiva se ogni elemento di $Y$$Y$ ha una sola preimmagine in $X$$X$, cioè se F è sia suriettiva che iniettiva. Di conseguenza X e Y hanno la stessa cardinalità.

 

Restrizione di un'applicazione

Definizione (17)

Se $S\subset X$$S\subset X$ e $F:X\to Y$$F:X\to Y$, posso considerare $F_{s}:S\to Y$$F_{s}:S\to Y$, $f_{s}(s)=f(s)\forall s\in S$$f_{s}(s)=f(s)\forall s\in S$ e si definisce restrizione di F al sottoinsieme S.

 

Preso un sottoinsieme dell'identità, la restrizione dell'identità a un sottoinsieme viene chiamata relazione di inclusione.

esempi

Presa la funzione $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$$F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definita assegnando come immagine di ogni $x\in \mathbb {R}$$x\in \mathbb {R}$ il suo quadrato, essa non è ne suriettiva ne iniettiva.

Se restringo il codominio a $\mathbb {R} +$$\mathbb {R} +$ ottengo una funzione suriettiva.

Fissato un reale positivo $a$$a$. chiamo $f_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$$f_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ la funzione $f(x)=a^{x}$$f(x)=a^{x}$ (funzione esponenziale in base a). $f_{a}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} +$$f_{a}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} +$ se $a\neq 1$$a\neq 1$; $1$$1$se $a=1$$a=1$. La funzione è iniettiva.

Sia n un fissato intero relativo e consideriamo l'applicazione $F_{n}(\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} )$$F_{n}(\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} )$ che consiste nell'associare a ogni intero z il multiplo $nz$$nz$. Se $n=\pm 1$$n=\pm 1$, $_{1}$$_{1}$ è l'identità ed è biettiva. $f_{0}$$f_0$ è la mappa nulla. Se $n\neq 0,\neq \pm 1$$n\neq 0,\neq \pm 1$, $f_{n}$$f_n$ è iniettiva ma non suriettiva.

Successione

Dati due insiemi non vuoti X e Y, possiamo considerare l'insieme di tutte le applicazioni da X a Y. Si denota questo insieme con la forma $Y^{X}$$Y^{X}$.

Se $X=\{x_{i},i\in I\}$$X=\{x_{i},i\in I\}$ e se considero $F:X\to Y$$F:X\to Y$, allora si ottiene una lista indicata con $(y_{i})_{i\in I}$$(y_{i})_{i\in I}$, questa è la lista delle immagini degli elementi di $X$$X$ e non è un insieme, perché le immagini si possono anche ripetere. Se considero gli elementi $1,2,n$$1,2,n$ l'immagine è $y_{1},y_{2},y_{n}$$y_{1},y_{2},y_{n}$.

Definizione (18)

Se Y è l'insieme dei reali e X è l'insieme degli interi maggiori uguali di 0, l'insieme delle funzioni da X a Y sono dette successioni.

 

Prodotto di applicazioni

Siccome le funzioni sono tipi particolari di applicazioni, si può definire la composizione di funzioni.

Proposizione (19)

Sia $f(X\to Y)$$f(X\to Y)$ e $g(Y\to V)$$g(Y\to V)$, allora si può definire $g\circ f(X\to V)$$g\circ f(X\to V)$ che è a sua volta un'applicazione.

 

Dimostrazione

Per dimostrarlo, si utilizza la definizione di composizioni e si mostra che a ogni y viene associata una e una sola immagine v in V.

 

$(x,v)\in g\circ f(x)$$(x,v)\in g\circ f(x)$ equivale a $x(g\circ f)v$$x(g\circ f)v$.

Il prodotto di applicazioni è associativo e in generale non commutativo.

Componendo f a destra con l'identità su x ottengo ancora f. Componendo f a sinistra con l'identità su y ottengo ancora f. In simboli $id(Y)\circ f=f\circ id(x)=f$$id(Y)\circ f=f\circ id(x)=f$. Per ogni f l'identità su y è l'elemento neutro rispetto al prodotto e l'identità su x è l'elemento neutro a destra rispetto al prodotto.

Proposizione (20)

Se f e g sono applicazioni e considero il prodotto $g\circ f$$g \circ f$, se f e g sono entrambe suriettive, iniettive o biettive, il prodotto è rispettivamente suriettivo, iniettivo e biettivo.

 

Applicazione inversa

Definizione (21)

Sia F un'applicazione da un insieme X a un insieme Y e sia g un'applicazione da Y a X. Si possono considerare entrambi i prodotti $f\circ g$$f\circ g$ e $g\circ f$$g \circ f$. g è un'inversa sinistra di f se $g\circ f=id(x)$$g\circ f=id(x)$ e f è un'inversa destra di g. Se inoltre si ha che $f\circ g=id(y)$$f\circ g=id(y)$, allora g è un'inversa (bilatera) di f e similmente f è un'inversa bilatera di g.

 

Proposizione (22)

Il prodotto cartesiano di un numero anche infinito di insiemi non è vuoto.

 

Si possono dimostrare le seguenti condizioni necessarie e sufficienti:

1. un'applicazione $F:X\to Y$$F:X\to Y$ ammette un'inversa sinistra se e solo se è iniettiva.
2. un'applicazione $F:X\to Y$$F:X\to Y$ ammette un'inversa destra se e solo se è suriettiva;
3. un'applicazione $F:X\to Y$$F:X\to Y$ ammette un'inversa bilatera $G:Y\to X$$G:Y\to X$ se e solo se è biettiva e tale inversa è unica ed è biettiva e la si chiama $f^{-1}(Y\to X)$$f^{-1}(Y\to X)$.

Un'applicazione lineare è invertibile se e solo se è biettiva.