Teorema spettrale nello studio dei prodotti scalari

Supponiamo di avere un prodotto scalare su e prendiamo la matrice di nella base canonica, che è una matrice simmetrica. Allora è tale che . Siccome è simmetrica, per il corollario del teorema spettrale esiste ortogonale tale che sia diagonale. Quindi le colonne di costituiscono una base di ortonormale per il prodotto scalare standard e composta da autovettori di .

Sia , con autovalori di non necessariamente distinti.
Osservazione 18.2

Abbiamo che perché è ortogonale. Non solo si ha che è la matrice con base in partenza e in arrivo di ( è costituita dalle colonne di ), ma è anche la matrice nella base di rispetto a . Pertanto la base non è solo una base di ortonormale per il prodotto scalare standard, ma è anche una base di ortogonale per .

Quindi ricaviamo che si determina prendendo una base ortogonale del prodotto scalare e contando le entrate nulle sulla diagonale, che corrisponde alla dimensione del nucleo dell'autovalore 0.

 

Secondo teorema spettrale[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 18.3 (Secondo teorema spettrale)

Sia una matrice reale simmetrica. Siano l'applicazione che porta in e tale che (ovvero e sono rispettivamente l'applicazione lineare e il prodotto scalare definiti da rispetto alla base canonica). Allora esiste una base di che soddisfa le seguenti condizioni:

  1. è ortonormale per il prodotto scalare standard su ;
  2. è composta da autovettori di , tali che
  3. è ortogonale per , cioè se

In particolare, in tale base avremo che la matrice dell'applicazione lineare è anche la matrice del prodotto scalare diagonale e quindi l'indice di positività è il numero dei tali che .

 
Esempio 18.5

Sia

Determinare e .

Calcolo il polinomio caratteristico di :

Scambio la prima e la terza riga

Scompongo il secondo fattore:

Allora e Trovare esplicitamente una base come nel teorema spettrale nella seconda formulazione.

Procedimento: Calcolare gli autospazi dei tre autovalori e prenderne i generatori, che saranno ortogonali tra loro.

Per trovare la base ortonormale si divide ogni vettore per la sua norma.
 
Esempio 18.6

Considero la matrice con tutte le entrate uguali a 1, e considero il prodotto scalare e l'applicazione lineare ad essa associati.

Il rango di è 2, quindi . Se fosse uguale a 0, il prodotto sarebbe semidefinito negativo ma questo non può essere, perché, ad esempio, .

Il polinomio caratteristico della matrice è . Ci si aspetta che l'autovalore 0 abbia molteplicità perché . Inoltre perché ho un solo autovalore positivo.

L'autospazio relativo all'autovalore 0 è dato da:

Invece .

La base di autovettori cercata è , ma non è ortonormale infatti il prodotto scalare tra i primi due vettori è 1. Per renderla ortogonale applico Gram-Schmidt ai primi due vettori.

Ora la base è ortogonale per il prodotto scalare standard ed è composta da autovettori di .

Per ricavare una base ortonormale divido ogni vettore per la sua norma.

Considero quindi la base

Trovare una matrice ortogonale tale per cui sia diagonale.

Basta prendere la matrice che ha per colonne i tre vettori della base ortonormale: in questo modo è la matrice diagonale che ha come entrate gli autovalori.

 


Osservazione 18.3

Sia uno spazio vettoriale euclideo, non necessariamente finitodimensionale. Supponiamo di avere simmetrica per . Siano autovalori distinti di e siano autovettori di relativi a rispettivamente.

e per . Allora sono a due a due ortogonali per , ovvero se .

 


Dimostrazione 18.1

Sia con . Allora poiché è autoaggiunta:

Invece .

Le due espressioni devono essere uguali, allora ma poiché dev'essere necessariamente . cvd
 

Nell'esempio precedente, anche se non tutti i vettori erano una base ortogonale, gli autovettori relativi a un autovalore erano ortogonali a quelli relativi agli altri autovalori.

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