Teorema spettrale

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

Se è uno spazio vettoriale euclideo e è lineare, si dice simmetrica o autoaggiunta rispetto a se .

L'importanza degli operatori autoaggiunti è legata al teorema spettrale.

Lo spettro di un operatore è l'insieme degli autovalori di un operatore.
Teorema 18.2

Sia uno spazio vettoriale euclideo d-dimensionale, . Sia lineare e autoaggiunta rispetto a . Allora esiste una base che soddisfa le seguenti condizioni:

  1. è ortonormale per , cioè
  2. è composta da autovettori di .

Se è simmetrica o autoaggiunta rispetto a , allora non solo è diagonalizzabile, ma la si può diagonalizzare su una base di ortonormale.

 
Se è simmetrica o autoaggiunta rispetto a , allora non solo è diagonalizzabile, ma la si può diagonalizzare su una base di ortonormale.
Esempio 18.2 (Applicazione del teorema)

Sia associata alla matrice

La matrice di è simmetrica, e la base canonica è ortonormale per il prodotto scalare standard. (infatti è simmetrica per se la matrice che la rappresenta è simmetrica)

Il polinomio caratteristico è

Questa è una base di composta da autovettori di f. è una base ortogonale ma non ortonormale.

Per trovare una base ortonormale divido i vettori per la rispettiva norma.

Questa è una base ortonormale composta da autovettori.

 

Conseguenze del teorema[modifica | modifica wikitesto]

In generale, se è una matrice simmetrica , allora è autoaggiunta e simmetrica per il prodotto scalare standard, e quindi per il teorema spettrale esiste una base ortonormale per il prodotto scalare standard tale che e tale che per certi .

In particolare qualsiasi matrice simmetrica è diagonalizzabile.

La matrice speciale[modifica | modifica wikitesto]

Chiamiamo la matrice da alla base canonica dell'identità, che ha per colonne . Allora è diagonale e ha entrate perché è la matrice di nella base fatta di autovettori. Nell'esempio precedente,

In realtà è una matrice invertibile di un tipo speciale. Le sue colonne non sono solo linearmente indipendenti, ma sono anche una base ortonormale per il prodotto scalare standard.

Siccome è una base ortonormale per il prodotto scalare standard, calcolando ottengo la matrice identità. Inoltre

Allora ottengo .

Quindi come corollario del teorema spettrale abbiamo: -

Corollario 18.1

Sia una matrice reale e simmetrica. Allora esiste una matrice invertibile tale che è diagonale e in secondo luogo tale che è l'identità, cioè l'inverso di è la trasposta di .

 

Matrice ortogonale[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 18.2

Una matrice reale si dice ortogonale (o unitaria reale) se , cioè è invertibile e .

 


Osservazione 18.1

Per le considerazioni precedenti, è ortogonale se e solo se le colonne di , sono una base dello spazio ortonormale per il prodotto scalare standard.

 


Definizione 18.3

Diremo l'insieme di tutte le matrici ortogonali .

 

L'identità appartiene a . Se R appartiene a allora e quindi .

Se e sono matrici ortogonali,

quindi anche appartengono a .

Se è una matrice ortogonale, allora , e quindi . Infatti, per il teorema di Binet si ha , ma siccome segue che e .



Esempio 18.3
  1. (sono le uniche basi ortonormali di ).
  2. è dato da tutte le matrici le cui colonne sono una base ortonormale del prodotto scalare standard. Queste sono di due tipi: quelle della forma
    con oppure quelle della forma:
    Geometricamente queste matrici portano la base canonica in una rotazione dell'angolo .
 

simmetrica implica che esiste tale che è diagonale ed è uguale a .

Se è una base ortogonale del prodotto scalare standard, anche è una base e cambia il segno del determinante.

Viceversa si ha una matrice reale tale che è diagonale per qualche ortogonale. Questo significa che esiste una base di ortonormale per il prodotto scalare standard e composta da autovettori di .

Concludiamo che se è la matrice diagonale tale che , allora se risolvo per ottengo . Allora (si usa il fatto che una matrice diagonale trasposta è uguale a sé stessa).

Questo risultato vale solo per matrici simmetriche: infatti, se è una matrice non simmetrica reale , non è necessariamente diagonalizzabile. In secondo luogo, anche se lo fosse, non lo è comunque mai su una base ortonormale, cioè non può ammettere una base di autovettori ortogonali per il prodotto scalare standard, quindi non è nemmeno ortogonale.
Esempio 18.4

Consideriamo la matrice non simmetrica

Il suo polinomio caratteristico è .
L'autospazio relativo all'autovalore è dato da:

Riducendo a scala la matrice ottengo:

Invece l'autospazio relativo all'autovalore è il ker della matrice

Allora è una base di composta da autovettori, ma non è ortogonale per il prodotto scalare standard perché la matrice non è simmetrica.

 
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