Dimostrazione del teorema spettrale

Lemma 18.1

Sia uno spazio vettoriale euclideo. Sia lineare e autoaggiunta per . Sia in un sottospazio vettoriale invariante per , ossia . Sia il complemento ortogonale di rispetto a (siccome è definito positivo, allora ). Allora anche è invariante per , cioè .

 


Dimostrazione 18.2

Dobbiamo dimostrare che per ogni anche , ossia che .

Sia quindi così che . Allora si ha . Ma anche perché è invariante per . Segue la tesi. cvd

 

Enunciato: Sia uno spazio vettoriale euclideo, di dimensione , e sia simmetrica o autoaggiunta per . Allora esiste una base che è ortonormale per e composta da autovettori di .

Dimostrazione 18.3

Bisogna prima dimostrare che il polinomio caratteristico di ha radici reali contate con la rispettiva molteplicità algebrica, ovvero che

con
e dove gli sono numeri reali (questo nel campo complesso è sempre vero).

Sia una qualsiasi base di , ortonormale per . Allora sia la matrice di in questa base. Siccome la base è ortonormale per e è autoaggiunta, allora è una matrice simmetrica.

Il polinomio caratteristico di è il polinomio caratteristico di , perché si può prendere la matrice che rappresenta in qualsiasi base.

Sia una qualsiasi radice complessa di . Dimostro che in realtà è una radice reale.

Per ipotesi esiste ed esiste tale che . Quindi passando ai coniugati ottengo ma siccome è reale quindi ottengo .

Se calcolo

Ma si ha anche
Poiché è autoaggiunta, i primi membri di queste ultime due relazioni sono uguali, quindi si ha , ma siccome la somma dei moduli è diversa da 0, allora , ossia è un numero reale perché è uguale al suo coniugato.

Concludiamo che tutte le radici complesse di sono in realtà numeri reali.

 
Dimostrazione 18.4

Osserviamo che il teorema spettrale è ovvio se .

Supponiamo e che l'asserto sia vero in dimensioni minori di .

Sia come sopra, simmetrica per . Allora per quanto visto tutte le radici del polinomio caratteristico di sono reali. In particolare esiste tale che e quindi è un autovalore di . Allora sia un autovettore corrispondente a , con e . Allora senza perdita di generalità, sostituendo v con possiamo supporre senza perdita di generalità che . Infatti, se così non fosse, sostituisco con . Chiamo lo span di . Allora se , , allora

perché è invariante per .

Consideriamo il complemento ortogonale per questo sottospazio, che chiamo . Per quanto visto, dato , perché è invariante per . D'altra parte, se consideriamo la restrizione di a , allora è ancora un prodotto scalare (bilineare e simmetrico) definito positivo. Infatti se prendo un qualsiasi elemento non nullo, , allora .

è definito positivo, pertanto la coppia è uno spazio euclideo di dimensione ( è il complemento ortogonale di uno spazio di dimensione 1).

Siccome definisce per restrizione una funzione lineare.

Segue che

quindi è simmetrica rispetto a .

Allora per l'ipotesi induttiva applicata allo spazio vettoriale euclideo di dimensione , esiste una base di che è ortonormale per , e composta da autovettori di , ovvero e per certi .

Se ora poniamo (dove è il vettore di norma 1 considerato prima), ricaviamo la base , infatti i vettori sono linearmente indipendenti perché i due sottospazi sono in somma diretta. Inoltre, abbiamo che per e per definizione di complemento ortogonale e per supposizione. Quindi quindi è una base di ortonormale per .

Infine, per e per la scelta di e quindi la base è composta da autovettori di . Questo completa il passo induttivo e anche il corso di algebra lineare!

 
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