Diagonalizzabilità negli spazi vettoriali euclidei

Applicazione simmetrica o autoaggiunta[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio vettoriale euclideo è dato da spazio vettoriale reale e da V prodotto scalare definito positivo.
Definizione 18.1

Se è uno spazio vettoriale euclideo e è lineare, diremo che è simmetrica o autoaggiunta rispetto a se per ogni , si ha .

 
Esempio 18.1

Sia e , quindi per qualche matrice

Quindi è simmetrica o autoaggiunta rispetto al prodotto scalare standard se e solo se quindi se e solo se , quindi se e solo se per ogni , quindi se e solo se e quindi è simmetrica.

In generale, sia una base di . Siano la matrice del prodotto scalare rispetto a tale base (quindi è simmetrica e non degenere). Chiamiamo la matrice nella base di . Allora se sono elementi di , siano e , allora, . Se introduco

Quindi è simmetrica o autoaggiunta rispetto a se e solo se Quindi se e solo se .

 

Base ortogonale[modifica | modifica wikitesto]

Se è uno spazio vettoriale euclideo, allora una base si dice ortogonale per se per ossia se la matrice che rappresenta in questa base è diagonale. Invece si dice ortonormale se ossia la matrice che rappresenta in questa base è la matrice identità.

Se è ortogonale, allora è una base ortonormale.

In particolare, se la base è una base ortonormale per (la matrice che rappresenta è l'identità), la condizione per avere una matrice autoaggiunta diventa .

Riassumendo, vale il seguente

Teorema 18.1

Nelle ipotesi precedenti le seguenti condizioni sono equivalenti

  1. è autoaggiunta per ;
  2. per ogni scelta di una base si ha
  3. per ogni base ortonormale di si ha
 
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