Sottospazi annullatori

Definizione ed esempi[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 14.2

Sia uno spazio vettoriale e un suo sottospazio. Il sottospazio annullatore di e' l'insieme di tutti i funzionali lineari su che sono identicamente nulli su . L'annullatore si indica con il simbolo e si puo' definire nei seguenti modi:

 

Prendo un generico e diciamo . Se e' la retta che congiunge l'origine con a. Allora e' l'insieme dei funzionali lineari tali che sono nulli su , e quindi su (ho scritto i funzionali come combinazione degli elementi della base dello spazio duale). In particolare:

  1. se e' il vettore nullo, la condizione e' soddisfatta per ogni scelta di . In questo caso
  2. Se , soddisfa la condizione se e solo se e' perpendicolare ad .Abbiamo che per qualche , quindi
    ed e' un sottospazio di dimensione 1 nello spazio di dimensione 2.
Osservazione 14.2

e' un sottospazio vettoriale di .

 


Osservazione 14.3
  1. L'elemento neutro di e' una funzione lineare identicamente nulla. E' una funzione tale che In particolare, , quindi .
  2. Siano elementi di e . Allora per ogni si ha
    infatti essendo e in e .Siccome questo vale per ogni , allora per ogni scelta di in .Quindi la combinazione lineare di due elementi dell'annullatore vi appartiene.

cvd

 

Dimensione dell'annullatore[modifica | modifica wikitesto]

Se , l'annullatore di si riduce a . Viceversa se e' lo spazio nullo, allora .

Se , e , allora il sottospazio annullatore di e'
Teorema 14.2

Sia uno spazio vettoriale finitodimensionale e sia in un sottospazio vettoriale. Allora .

 


Dimostrazione 14.3

Notiamo che nei due casi banali esposti sopra la relazione è soddisfatta. Possiamo allora supporre che e . Sia e . Sia una base di . Per il teorema della base estesa, esistono sia una base di .

Consideriamo la base duale. Sia la base di duale a . Allora e' univocamente determinato dalle condizioni: per ; in particolare, per ogni .

Analogamente, in e' univocamente determinato dalle condizioni: e per e per .

Allora per ogni in esistono e sono unici tali che

se e solo se per ogni e quindi per ogni combinazione lineare dei .

Sia allora

per linearita'.
Quindi questo equivale a dire che per ogni j, cioè un funzionale si annulla su se si annulla su tutti gli elementi di una base di .

Se sono come prima, imponiamo che

Il secondo addendo è nullo, mentre il primo e' , quindi l'unico termine con un contributo non nullo e' quello con . Pertanto se e solo se , cioè se e solo se appartiene a . I vettori sono linearmente indipendenti perche' sono parte della base duale, quindi ricavo che la dimensione di e' , cioe' .

cvd

 
Esempio 14.3

Siano non tutti nulli. Sia

La dimensione dell'iperpiano e' , quindi ha dimensione 1.

Osserviamo che, in termini dello spazio duale, e' il ker di .
 
Esempio 14.4

Prendo in . Trovare una base di .

ha dimensione 1 quindi ha dimensione 2.

Devo trovare due funzionali lineari linearmente indipendenti che si annullino su , e quindi che si annullino su .

se e solo se la matrice con colonne e ha rango 1. Quindi riduco a scala la matrice:

Imponendo uguali a 0 le quantità corrispondenti agli ultimi due gradini, la matrice ha rango 1 e si hanno le due equazioni linearmente indipendenti: e . Quindi pertanto

e ho quindi trovato una base di .

 
Esempio 14.5

Sia . Trovare una base dell'annullatore e la sua dimensione.

ha dimensione 2 essendo generato da due vettori linearmente indipendenti. Quindi ha dimensione . Per trovare una base di cerco due funzionali lineari che si annullano su .

se e solo se il rango della matrice con colonne e' 2.

Faccio operazioni per riga sulla matrice:

Ottengo le equazioni: e .

I due funzionali lineari sono linearmente indipendenti, quindi

 

Base dell'annullatore[modifica | modifica wikitesto]

In generale, supponiamo che e che sia un sottospazio vettoriale -dimensionale. Supponiamo di aver concluso che abbia equazioni cartesiane

espresso in un sistema lineare di equazioni omogenee in incognite. Equivalentemente questo significa che e' il ker di dove e' l'applicazione che porta in

Se il nucleo ha dimensione , con . Allora e' suriettiva e inoltre le righe della matrice che rappresenta sono linearmente indipendenti, inquanto l'applicazione ha rango .

Questo significa che

sono tutti linearmente indipendenti. e naturalmente appartiene a per ogni poiché ogni si annulla su . Allora e' una base di .

Procedimento: Per trovare una base di cerco equazioni carteisane di , siano esse

e in esse sostituisco con rispettivamente.

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