Relazione tra sottospazi annullatori

Sia uno spazio vettoriale e supponiamo di avere due sottospazi e in tali che . Ci si chiede quale sia la relazione tra i sottospazi annullatori e .

Inclusione[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 14.5

Se , allora ma siccome , . Quindi . In formule implica .

 

Annullatore dell'intersezione[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 14.6

Considero l'intersezione , e il suo annullatore .

Sia allora , con e . Dato , , ma , quindi , inoltre quindi , pertanto . Abbiamo concluso che e' sicuramente contenuto nell'annullatore di .

Ci si chiede se vale l'uguale.
 

Sia una base di . Allora possiamo trovare vettori che, aggiunti ai , costituiscono una base di , e anche vettori tali che, aggiunti ai , costituiscano una base di . Quindi la sequenza è una base di : tale base si può estendere ulteriormente ad una base di aggiungendo vettori .

Una base dell'annullatore dell'intersezione è data dai vettori stellati (della base duale) corrispondenti ai vettori che ho aggiunto a per ottenere una base di , ossia . Equivalentemente si può scrivere

Il primo addendo è lo span di tutti i vettori eccetto quelli che stanno nella base del duale di , e quindi è , analogamente il secondo addendo è . Quindi, l'annullatore dell'intersezione e' la somma degli annullatori.

Nota: La relazione segue anche dal fatto che gli stellati dei vettori che servono per estendere una base di a una base di costituiscono una base dell'annullatore.

Annullatore della somma[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 14.7

Se , allora . In particolare

Quindi l'intersezione degli annullatori e' contenuta nell'annullatore della somma .
 

In realtà, i due spazi sono uguali, e per dimostrarlo basta mostrare che hanno la stessa dimensione:

Dimostrazione 14.4

Calcolo la dimensione dell'annullatore della somma:

Ma per la formula di Grasman, quindi

Considero ora l'intersezione degli annullatori: per la formula di Grasman

Ma
quindi, sostituendo:
Elimino i termini opposti.
dove l'ultimo passaggio vale per la relazione 1. cvd

 

In conclusione si ricavano le due regole generali:

Uguaglianza tra annullatori[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 14.8

Se e' uno spazio vettoriale di dimensione , e e in sono sottospazi vettoriali, allora se e solo se i corrispondenti annullatori sono uguali.

 


Dimostrazione 14.5

Sia la dimensione di . Allora sappiamo che . Sia poi una base di con funzionali lineari e linearmente indipendenti, e si può considerare l'applicazione lineare tale che

Sia una base di e prendo la base duale ad essa . Supponiamo che, per ogni ,

per certi coefficienti .

I vettori riga sono linearmente indipendenti.

Applico ai vettori della base e ottengo:

Infatti quando applico rimane il termine , quando applico ottengo il termine e cosi' via. In generale

La matrice che rappresenta dalla base alla base canonica di e' la matrice che ha come j-esima colonna le coordinate rispetto alla base d'arrivo di , ed e' la matrice:

Il rango di una matrice e' il minimo tra il numero di righe e quello delle colonne, quindi . Per il teorema del rango, la dimensione del nucleo di e' .
Dato , allora , perche' i sono nell'annullatore di , quindi e' contenuto nel nucleo di , ma poiché i due spazi hanno la stessa dimensione, segue che . In particolare, se ho due sottospazi che hanno lo stesso annullatore, sono entrambi uguali al nucleo di , e quindi sono uguali tra loro.

cvd

 

Viceversa, sia un sottospazio vettoriale, -dimensionale contenuto in , costruisco una base di , e costruisco esattamente come prima.

Se , allora ha dimensione . Sicuramente quindi i stanno nell'annullatore di . Ma anche ha dimensione . Quindi .

Il passaggio da un sottospazio al suo annullatore da' una corrispondenza biunivoca tra i sottospazi di e i sottospazi del duale, che porta nel suo annullatore.

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