Osservazioni sulla traccia

La traccia è un'applicazione che associa a ogni matrice la somma degli elementi sulla diagonale.
Osservazione 14.4

La traccia è un elemento del duale di .

 

Infatti, data una matrice con entrate e una matrice con entrate e presi , allora

Quindi la traccia è lineare.

Se considero la base su , segue che

infatti solo se l'elemento è sulla diagonale. Quindi, in termini dei vettori della base duale:

La dimensione del nucleo della traccia, che chiamo è , perchè l'applicazione è suriettiva ed è definita in uno spazio di dimensione .

L'annullatore di è lo span della traccia, basta quindi scegliere come generatore un funzionale lineare che si abbia traccia nulla.


Esempio 14.6 (polinomio)

Sia

definisco tale che , e sia . Poniamo e allora .

Data la base , ed agiscono sui vettori nel modo seguente:

sono linearmente indipendenti. Allora l'applicazione lineare che essi definiscono ha rango 2, e quindi . Inoltre, .

La matrice di rispetto alla base di partenza e alla base canonica di in arrivo è una matrice e ha come righe le coordinate dei due funzionali rispetto alla base duale.

 
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