spazio vettoriale prodotto

Definizione 6.3

Siano spazi vettoriali su e sia il loro prodotto cartesiano ovvero l'insieme .

 

Definiamo le operazioni in come segue:

somma
per ogni scelta di e di
prodotto
se , allora per ogni e per ogni scelta di


Con queste operazioni il prodotto cartesiano e' uno spazio vettoriale e si chiama spazio vettoriale prodotto.

dimensione dello spazio vettoriale prodotto[modifica | modifica wikitesto]

Problema: Ci si chiede quale sia la dimensione di supposte note la dimensione di e quella di . Chiamo la dimensione di e la dimensione di . Entrambe sono maggiori di 0 e minori di .

Determinazione del sistema di generatori: Possiamo trovare base di (la base ha la cardinalita' della dimensione dello spazio). Analogamente esiste la base .

Sia un elemento di , . Esistono e sono unici e numeri reali tali che e . La coppia ordinata si puo' scrivere come

Scompongo ulteriormente
Questa e' una combinazione lineare, appartiene a

Questo vale per un qualsiasi elemento .

Quindi i vettori , , , , , costituiscono un sistema di generatori per lo spazio vettoriale prodotto .

Possiamo dire che la dimensione e' sicuramente minore o uguale della cardinalita' del sistema di generatori e vale l'uguale se e solo se tutti i vettori sono linearmente indipendenti.

Dimostrazione della lineare indipendenza: Supponiamo di avere scalari tali che

Gli scalari devono essere tali che la loro combinazione con i vettori dello span sia uguale al vettore nullo.

Il vettore nullo di e' il vettore , allora separando le componenti ottengo:

Ma l'unico modo in cui questo avviene e' quando tutti gli scalari sono uguali a 0

Quindi i vettori sono linearmente indipendenti.

Conclusione: La dimensione di e' uguale alla somma delle dimensioni e inoltre se li prendo nell'ordine

e' una base di .

Esempio 6.2 (Insieme dei polinomi)

Considero , l'insieme dei polinomi reali di grado minore o uguale di . Allora presa nell'ordine e' una base. La dimensione di questo spazio e' precisamente

Chiamo l'insieme dei polinomi in con la proprieta' che (sono i polinomi divisibili per , cioè tali che ). In altre parole e' l'insieme dei polinomi della forma , dove ha grado al massimo e quindi questi polinomi appartengono a .

Allora

Questi vettori costituiscono una base,, quindi la dimensione di è .
 

Teorema della base incompleta[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 6.2 (della base incompleta)

Sia uno spazio vettoriale finito dimensionale. Sia la sua dimensione. Siano linearmente indipendenti. Sappiamo che e se , allora e' una base di . Se questa non e' una base, ma esistono tali che la sequenza ordinata sia una base. In altre parole, qualsiasi stringa ordinata di vettori linearmente indipendenti puo' essere completata a una base dello spazio.

 


Dimostrazione 6.3

Dimostro per induzione su , dove e' il numero dei vettori da aggiungere alla base affinche' .

  1. Se , siamo nel caso appena discusso, i sono gia' una base.
  2. Se , allora ho vettori linearmente indipendenti.Lo span dei vettori e' un sottospazio vettoriale di e la sua dimensione e' , perche' e' una base di . allora e' un sottospazio proprio, cioe' esiste un vettore che chiamo e apppartiene a .Allora per definizione non e' combinazione lineare di , perche' se lo fosse sarebbe un elemento di .Pertanto è una base per , infatti e' non nullo, nessun vettore e' combinazione lineare dei precedenti quindi sono linearmente indipendenti. Quindi completo la base di partenza ponendo .
  3. Passo induttivo: Sia e supponiamo vero l'asserto per tutti i valori con .Supponiamo che siano linearmente indipendenti .Siccome , se dico allora e' un sottospazio vettoriale di e la sua dimensione e' uguale a . e' un sottospazio vettoriale proprio di quindi esiste , non e' combinazione lineare di per costruzione altrimenti apparterrebbe a ..Pertanto, se prendo la sequenza ordinata essa e' un insieme di vettori linearmente indipendenti.Pongo Ora , e per l'ipotesi induttiva esistono tali che la stringa e' una base di .

cvd

 
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