spazio vettoriale intersezione

proprietà generali[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 6.3

Sia uno spazio vettoriale su e siano sottospazi vettoriali. Allora anche l'intersezione e' un sottospazio vettoriale di .

 


Dimostrazione 6.4

L'elemento neutro di appartiene ad e a perche' sono entrambi sottospazi vettoriali. Qualsiasi sottospazio vettoriale contiene 0. Quindi l'elemento neutro appartiene ad che pertanto e' diverso dall'insieme vuoto.

Siano poi e . Allora implica che , perche' e' un sottospazio vettoriale chiuso rispetto alla combinazione lineare.

Per la stessa ragione, siccome , essi appartengono anche a , quindi perche' e' un sottospazio vettoriale.

Allora siccome appartiene sia ad che a , appartiene anche all'intersezione.

cvd

 


Esempio 6.3

In generale se abbiamo scalari e consideriamo il sistema lineare omogeneo:

Se chiamo l'insieme dei vettori colonna che soddisfano la prima equazione e l'insieme dei vettori colonna che soddisfano la seconda equazione, allora e sono sottospazi vettoriali. Se per qualche j e per qualche j, allora (uno dei vettori puo' essere espresso come combinazione lineare degli altri). Allora lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo e' , perche' e' l'insieme dei punti che soddisfano entrambe le equazioni.

Se e' lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo, allora , quindi e' un sottospazio vettoriale.

 
Proposizione 6.2

Se sono sottospazi vettoriali, allora l'intersezione e' a sua volta un sottospazio vettoriale.

 
Dimostrazione 6.5

Procedo induttivamente:

  1. Se , e' un sottospazio vettoriale per il teorema dimostrato precedentemente.
  2. Se , considero lo spazio .Applicando la proprieta' associativa ottengo:
    e' un sottospazio vettoriale per il caso . e' a sua volta un sottospazio vettoriale per il caso .
  3. Passo induttivo: Suppongo che l'ipotesi sia vera per e lo dimostro per .Se considero essa e' uguale a . e' un sottospazio vettoriale per ipotesi induttiva. e' un sottospazio vettoriale per il caso
    cvd
     
Corollario 6.1

In generale se prendo un qualsiasi sistema lineare omogeneo, dati scalari con , , sia in il luogo delle soluzioni del sistema lineare omogeneo di equazioni con incognite:

Sia l'insieme dei vettori colonna che soddisfano la i-esima equazione . Ciascuno dei sottospazi che soddisfa l'equazione omogenea si chiama iperpiano, se tutti gli sono diversi da 0.

L'intersezione degli iperpiani e' l'insieme delle soluzioni del sistema ed e' un sottospazio vettoriale.
 
Esempio 6.4

In qualsiasi retta e' il luogo delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo perche' e' data dall'intersezione tra due piani.

 


Esempio 6.5 (polinomi)

Consideriamo lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale di , e consideriamo lo spazio

Questo spazio e' dato dall'intersezione tra l'insieme dei polinomi che si annullano in e quelli che si annullano in . Quindi .

è un sottospazio vettoriale, infatti:

  1. Il vettore nullo appartiene a . Se e , allora ,inoltre , cioè .

Inoltre ha dimensione e ha come base:

 


Esempio 6.6 (spazio delle funzioni)

Sia un insieme e prendiamo l'insieme di tutte le funzioni , che chiamo ed e' uno spazio vettoriale. Sia l'insieme di tutte le funzioni la cui restrizione a e' identicamente nulla. e' un sottospazio vettoriale per ogni sottoinsieme .

Se sono due sottoinsiemi di , allora l'intersezione e' l'insieme delle funzioni che si annullano su .

 
Osservazione 6.3

Sia uguale allo spazio nullo. Allora .

 
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