Spazio vettoriale somma

Proprietà generali[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 6.4

Sia uno spazio vettoriale su . Siano e sottospazi vettoriali di . La somma di e e' il sottoinsieme di così definito:

( e sono vettori).

 


Esempio 6.7

Se e' uguale a , prendo , insieme dei vettori della forma . Prendo insieme dei vettori della forma .

Allora

 


Esempio 6.8

Sia un insieme. Siano e due sottoinsiemi di . Prendiamo lo spazio delle funzioni che si annullano su , e lo spazio delle funzioni che si annullano su .. Sia , . Allora . Sicuramente la somma e' contenuta in , e in realtà si può dimostrare che .

 

Teorema sullo spazio somma[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 6.4

Sia uno spazio vettoriale, siano e in sottospazi vettoriali, allora

  1. e' un sottospazio vettoriale (che si dice lo spazio somma di e );
  2. e' il piu' piccolo sottospazio vettoriale di contenente .
 
Dimostrazione 6.6

Unione contenuta nella somma: Lo spazio contiene il vettore nullo, che puo' essere scritto come con e . Quindi .

Per ogni , con , quindi appartiene a . Quindi e' contenuto in .

Allo stesso modo per ogni , , quindi essendo somma di un elemento di e uno di .

Allora contiene l'unione insiemistica .

Somma come spazio vettoriale: Supponiamo di avere elementi e . Per definizione esistono tali che . Analogamente esistono tali che . Se considero la combinazione lineare di

E' ancora la somma di un elemento di e un elemento di . Quindi anche la combinazione lineare di elementi di e e' un elemento di . Segue che e' un sottospazio vettoriale perche' e' non vuoto e chiuso rispetto a combinazioni lineari.

Dimostrazione della minimalità: Sia sottospazio vettoriale tale che contiene . Allora per ogni , per ogni si ha: , quindi siccome e' sottospazio vettoriale allora . Quindi contiene l'insieme , cioè contiene lo spazio somma .

cvd

 
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