Formula di Grasman

Teorema 6.5

Siano e due sottospazi di finitodimensionali. Allora possiamo dire che:

 

Caso 1 A sottoinsieme di B[modifica | modifica wikitesto]

Dimostro prima l'asserto nel caso particolare in cui .

Dimostrazione 6.7

Se contiene , allora , . Di conseguenza dev'essere uguale a . Vale la formula perché

cvd

 

Caso 2 somma diretta[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 6.5

Supponiamo che sia il vettore nullo. In questo caso diremo che e sono in somma diretta e lo spazio somma si può indicare con .

 
Dimostro l'asserto nel caso in cui i due spazi sono in somma diretta.
Dimostrazione 6.8

Sia la dimensione di e la dimensione di . Sia una base di e sia analogamente una base di ..

Sia in . Allora esistono tali che . Quindi esistono tali che , e , allora posso scrivere:

che appartiene a .

Allora

Questo vale sempre, anche se i due spazi non sono in somma diretta. La dimensione di e' sempre minore o uguale della somma delle dimensioni.

Se suppongo che i due spazi sono in somma diretta, affermo che la stringa ordinata e' una base di (se l'intersezione e' il vettore nullo).

Infatti dimostro che, dati tali che

allora tutti i coefficienti sono uguali a 0.

Portando a secondo membro i , ottengo

e chiamo il vettore che copare al primo e al secondo membro.

Si ha quindi e quindi . Però si ha anche e quindi . ma siccome sto supponendo che , segue necessariamente .

significa che , quindi tutti gli sono nulli, perche' gli costituiscono una base di .

Anche , quindi tutti i sono nulli, perche' i costituiscono una base di .

Allora quella che sto considerando e' una base dello spazio somma.

Quindi la dimensione di e' uguale a se . Questo coincide con quanto afferma la formula di Grasman:

 

Caso 3 dimensione dell'intersezione non nulla[modifica | modifica wikitesto]

Dimostro l'asserto nel caso generale.
Dimostrazione 6.9

Possiamo supporre che la dimensione dell'intersezione sia positiva e sia minore di . Chiamo la dimensione dell'intersezione, la dimensione di e la dimensione di .

Sia una base di . Questo e' un sottospazio vettoriale. Allora per il teorema della base incompleta esistono certamente tali che sia una base di .

Analogamente esistono tali che sia una base di .

Affermo che e' una base di . Se cio' e' vero la dimensione di risulta essere uguale a e quindi la formula di Grasman vale.

Dimostro che è una base di . Mostro che

  • e0 un sistema di generatori per

Sia , quindi per definizione esistono tali che . Siccome e' una base di , esistono e sono unici tali che

Allo stesso modo siccome e' una base di , esistono e sono unici tali per cui
Ne segue che
Quindi e è contenuto in questo span.

L'inclusione opposta è ovvia quindi è proprio uguale allo span dei vettori sopra elencati.

  • Devo dimostrare che sono linearmente indipendenti.

Supponiamo di avere una combinazione lineare che da' 0 e mostriamo che gli scalari sono nulli.

Dati numeri reali considero la combinazione lineare:

Porto i al secondo membro:

Chiamo il vettore che puo' essere espresso come primo o secondo membro.

Il primo membro e' un elemento di mentre il secondo e' un elemento di , quindi appartiene a .

Esistono tali che , perche' e' una base di .

Allora se uso la seconda identita' per , ricavo che . Quindi ricavo che

e' una base di quindi i vettori sono linearmente indipendenti. Quindi ricavo che per e .

Ricavo che (ho gia' dimostrato che il terzo termine e' 0).

Anche gli e i formano una base di , allora sono linearmente indipendenti e tutti i coefficienti della combinazione lineare sono necessariamente uguali a 0. Quindi per e .

cvd

 
Esercizio 6.1

Siano e sottospazi di in somma diretta. Dimostrare che per ogni vettore in esistono e sono unici tali che .

Dim. L'esistenza degli elementi a e bdipende dalla definizione di spazio somma, infatti un elemento appartenente allo spazio somma e' un elemento che si puo' scrivere come con .

Dimostro l'unicita'. Per assurdo suppongo che esistono due elementi , tali che con , . Se i due spazi sono in somma diretta la loro intersezione e' il vettore nullo. Se , posso anche scrivere che . Allora , analogamente . Siccome l'unico elemento in e' l'elemento neutro, possiamo scrivere che , quindi necessariamente e , e la scrittura di è unica.

 
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