sottospazi vettoriali

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 5.2

Sia uno spazio vettoriale su o su un campo generico, indicato per semplicita' con . Un sottospazio vettoriale di e' un sottoinsieme che soddisfa le seguenti proprieta':

  1. per ogni coppia , si ha ;
  2. per ogni scelta di umero reale e per ogni scelta di , si ha .
 

Le proprieta' 2 e 3 si possono riassumere con la proprieta' seguente:

Esempio 5.3

Prendo lo spazio vettoriale e considero il quadrante positivo

Questo non e' un sottospazio vettoriale, perche' le proprietà 1 e 2 sono verificate, ma la proprietà 3 non è soddisfatta: infatti, ad esempio ma non appartiene a .

 
Esempio 5.4

Considero l'unione dei due assi coordinati con e . La proprietà 2 non e' soddisfatta, quindi non ho un sottospazio vettoriale.

 
Esempio 5.5

Se prendo una retta passante per l'origine con vettore direzione , i suoi elementi si scrivono come con . Questa retta è un sottospazio vettoriale di , infatti, presi due elementi e , la somma sta in .

Inoltre, preso un generico in e , allora per proprieta' associativa e' uguale a , cioè i multipli scalari di appartengono a . Quindi questo e' un sottospazio vettoriale.

 

Lemma sugli spazi vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Lemma 5.1

Se e' un sottospazio vettoriale, allora certamente il vettore nullo di appartiene a . Se e' un qualsiasi sottoinsieme di e non contiene il vettore nullo, allora non puo' essere un sottospazio vettoriale.

 


Dimostrazione 5.2

Se vale la proprieta' 1 della definizione di sottospazi vettoriali, ed esiste un . Se vale 3, con , ricavo . , di conseguenza il vettore nullo deve appartenere a .


cvd

 
Esercizio 5.2

Siano non entrambi nulli e un qualsiasi numero reale. Per quali valori di il luogo e' un sottospazio vettoriale di ?


Verifico le proprietà della definizione:

  1. l'origine deve appartenere a , altrimenti non ho un sottospazio vettoriale.Se sostituendo nell'equazione ottengo , e questo è vero se e solo se .Se , l'origine di non soddisfa l'equazione che definisce quindi non puo' essere un sottospazio vettoriale.Se , abbiamo il luogo
    Verifico quindi su le proprietà 1 e 2.
  2. se e , allora , , e quindi anche , cioè appartiene a .
  3. Allo stesso modo, se e , allora e moltiplicando per ottengo
    Allora il vettore appartiene a .

Allora e' un sottospazio vettoriale se .


altro procedimento: Alternativamente, noto che si puo' scrivere in un altro modo. Infatti, se , , quindi è l'insieme dei multipli scalari di , e, moltiplicando per , e' l'insieme di multipli scalari di . Equivalentemente, e' la retta passante per l'origine con vettore direzione , e come dimostrato precedentemente, le rette per l'origine sono sottospazi vettoriali.

 

classificazione i sottospazi vettoriali di R^2[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 5.3

Se e' un qualsiasi spazio vettoriale, il sottoinsieme di che consiste del solo vettore nullo e' un sottospazio vettoriale di . Infatti e' non vuoto, la somma di due qualsiasi elementi e il prodotto per uno scalare sono sempre uguali al vettore nullo. Questo insieme si definisce sottospazio nullo.


Anche e' sottospazio vettoriale di se stesso.


I due sottospazi, il piu' piccolo possibile e il piu' grande possibile, sono detti sottospazi banali.


Se , la retta che consiste di tutti i multipli scalari di e passa per l'origine è un sottospazio vettoriale di .

 

Più precisamente, sia un sottospazio vettoriale di , se ho il sottospazio nullo, altrimenti esiste . Allora certamente tutti i multipli scalari di sono contenuti in per la proprietà 3, quindi . Questo significa che contiene la retta , con punto di passaggio nell'origine e vettore direzione . Quindi, si può avere (e quindi è già stato elencato tra i sottospazi vettoriali di ), oppure .


Se contiene propriamente , allora esiste , con , allora non e' un multiplo scalare di . e non e' multiplo scalare di , allora, e sono linearmente indipendenti in e sono una base di . Allora per ogni scelta di in , esistono e sono unici scalari in tali che . Per la proprieta' equivalente a 2 e 3, e' un elemento di . Concludo che .

Riassumendo, i sottospazi vettoriali di sono il vettore nullo, l'insieme delle rette passanti per l'origine, stesso.

Esempio 5.6

Se considero lo spazio vettoriale , con , allora considero il sottoinsieme . Definisco

e' un sottospazio vettoriale?

  1. l'origine appartiene a , infatti e' la funzione identicamente nulla, tale che , e quindi è nulla anche per ogni e appartiene a .
  2. Se prendo due elementi , cioè tali che , allora la funzione somma e' , cioè .
  3. se e , allora . Allora Quindi per ogni e

Allora e' un sottospazio vettoriale di

Se definisco invece

questo non e' uno spazio vettoriale perche' non contiene l'elemento neutro.

 
Esempio 5.7

Preso l'insieme dei polinomi reali di grado minore o uguale di , e considero , sia l'insieme dei polinomi in che hanno come radice, cioè tali che . Se , allora , e solo se .


contenuto in e' un suo sottospazio vettoriale, infatti:

  1. lo zero di , che è il polinomio identicamente nullo, è nullo anche se valutato in , quindi contiene l'origine.
  2. Se , allora
    quindi
    cioè è radice della somma e quindi .
  3. preso uno scalare si ha che , quindi , quindi è radice di e appartiene a .
 
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