Esempi di spazi vettoriali

con le operazioni definite e' il modello su cui abbiamo costruito la nozione di spazio vettoriale.

Spazio delle funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 5.1

Se e' un insieme, sia l'isnieme di tutte le funzioni . Allora

  1. Se e sono elementi di , definisco la somma di e come .(Il segno al secondo membro indica la somma di numeri reali. Quello al primo membro indica cio' che sto definendo)
  2. se e , definisco il prodotto .

Affermo che e' uno spazio vettoriale su .

Verifico le proprietà tipiche dello spazio vettoriale in .

  1. Verifico l'associatività: Se sono elementi di , affermo che . Devo dimostrare che , le due funzioni sono uguali.Applicando due volte la definizione di somma:
    A questo punto applico l'associatività in perche' ho la somma di numeri reali
    riscrivo il secondo termine usando la definizione di somma a ritroso:
    quindi ho verificato che .
  2. Verifico la distributività rispetto alla somma di funzioni.Se e sono elementi di , allora per definizione di somma:
    Uso le proprietà dei numeri reali:
    Usando la definizione di prodotto a ritroso:
    Concludo che per ogni , .
  3. Verifico la proprieta' commutativa.Per definzione di somma:
    per commutatività in :
    e per definizione di somma a ritroso:

Si verificano analogamente le altre proprietà. Quest'esempio si generalizza a , dato dalle funzioni , dove e' un campo arbitrario.

 

Polinomi reali[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 5.2

Se , definisco come l'insieme dei polinomi in di grado minore o uguale di . E' l'insieme .


La terna e' uno spazio vettoriale su quando sono definiti come segue:

  1. Dati i polinomi
    per la somma si ha
  2. Definiamo il prodotto:
 


Esercizio 5.1

Verificare che e' uno spazio vettoriale su R con .

 

Si può verificare che valgono le proprieta' dello spazio vettoriale.

In generale, posso anche considerare lo spazio dei polinomi reali di grado qualsiasi:

Per avere uno spazio vettoriale su , posso imporre che se e' molto grande, oppure impongo che per quasi ogni , questo significa che solo un numero finito di puo' essere diverso da 0. Allora, detto l'insieme dei polinomi di grado , si ha:

e l'unione di tutti questi insiemi per e' l'insieme di tutti i polinomi.

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