Concetti introduttivi

Definizioni di spazi vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 5.1

Uno spazio vettoriale reale sul campo reale e' una terna , ove e' un insieme non vuoto, sono funzioni tali che:

  • VV è l'operazione che associa alla coppia la somma ;
  • V è l'operazione che associa alla coppia il prodotto .
 

proprieta' della somma[modifica | modifica wikitesto]

  1. L'addizione e' commutativa, cioe' per ogni coppia .
  2. L'addizione e' associativa, cioe' .
  3. Vale l'esistenza dell'elemento neutro rispetto alla somma:
    si dice elemento neutro. L'elemento neutro, se esiste, e' necessariamente unico.Infatti se esistesse con le stesse proprieta' di , allora per le proprieta' di , ma anche ha le stesse proprieta', quindi .
  4. vale l'esistenza dell'opposto:
    L'opposto di ogni , se esiste, e' necessariamente unico. Stesso ragionamento applicato per .Infatti, se esiste con la stessa proprieta', , per le proprietà dello zero, quindi sostituendo il valore di zero trovato, , ma siccome gode della stessa proprieta' di , allora , quindi

Proprietà della moltiplicazione[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 5.1
  1. La moltiplicazione e' distributiva rispetto alla somma di vettori.
  2. La motliplicazione e' distributiva rispetto alla somma di scalari:
  3. La moltiplicazione e' associativa.
  4. Si puo' anche scrivere (normalizzazione).
  5. ( e' l'elemento neutro)
 


Dimostrazione 5.1

Usando la distributività rispetto alla somma di scalari:

Sommo a il suo opposto, e sostituisco l'espressione di appena ricavata:

Uso l'associatività:
cioè il vettore nullo e' uguale a .


cvd

 
Osservazione 5.1

L'opposto di un vettore può essere scritto come , infatti

ma per le proprietà della somma di numeri reali, e .


Per l'unicita' dell'opposto .


In generale:

 
Osservazione 5.2

Abbiamo definito spazi vettoriali sul campo . In realtà si puo' definire uno spazio vettoriale su un campo qualsiasi. Tutte le proprieta' algebriche si generalizzano, tranne quelle che sono in relazione con la metrica.

 
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