Definizione 5.3
Se
e' uno spazio vettoriale su
, e scegliamo vettori
e scalari
la combinazione lineare di
con coefficienti
e' il vettore

La scrittura non e' ambigua, perche' in virtu' dell'associativita', l'ordine con cui sommo gli elementi non cambia.
Definizione 5.4
Sia
uno spazio vettoriale su
e siano
. Definiamo


Lo span di un insieme di vettori è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di tali vettori.
Esempio 5.8
Se
, il suo span e' l'insieme dei multipli scalari della forma
. E' la retta passante per l'origine e con direzione
, ossia congiungente l'origine e
stesso.
Esempio 5.9
Se prendo
linearmente indipendenti e non nulli, allora

E' il piano passante per l'origine con vettori direzione

e

.
Esempio 5.10
In
, i polinomi di grado minore o uguale a
, considero

E' l'insieme dei polinomi di grado minore o uguale a 2.
Se
e' un sottospazio vettoriale di
, e
,
, allora sicuramente
.
Dimostrazione 5.3
Per
, questa e' una definizione. Se
, allora posso scrivere
per l'associativita'. Ma il primo termine tra parentesi e' un elemento di
per il caso
, il secondo e' un elemento di
per il caso
, allora la somma appartiene a
.
Ipotesi induttiva: Per induzione, questo e' vero per un certo
. Passo a
, e scrivo
. Il primo termine appartiene a
per ipotesi induttiva e il secondo per il primo caso. Allora anche la somma appartiene.
Proposizione 5.2
Sia
uno spazio vettoriale su
. siano
. Allora lo
e' un sottospazio vettoriale di
. Piu' precisamente,
e' il piu' piccolo sottospazio vettoriale di
contenente i vettori
. Tutti i sottospazi vettoriali di
che contengono
contengono lo span di
.
Dimostrazione 5.4
Dimostro che lo span è un sottospazio vettoriale:
- Posso scrivere lo
come
e appartiene allo span di
. Allora lo span contiene l'origine ed e' non vuoto.
- Siano
e
appartenenti allo span di
. Siano
. Per definizione, esistono
e
tali che

Se considero la combinazione lineare
, essa e' uguale a
Per distributivita'
Uso la commutativita'
Uso la distributivita' rispetto alla somma di scalari

E' ancora una combinazione lineare dei vettori.
Dimostro che lo span è il più piccolo spazio vettoriale che contiene i vettori:
se
in
e' un qualsiasi sottospazio vettoriale, che contiene
allora
contiene anche
, la combinazione lineare di
con i coefficienti
per ogni scelta di
. Quindi
contiene ogni elemento di
.
Quindi
contiene lo span.
Sia
in
un sottospazio vettoriale. Allora l'elemento neutro appartiene a
.
Se
consiste del solo elemento neutro, allora e' lo spazio nullo.
Altrimenti esiste
.
Allora
contiene lo span di
, che e' l'insieme dei multipli scalari di
, indicati con
al variare di
. Lo span di
e' la retta passante per l'origine e con vettore direzione
.
Se
allora
e' una retta per l'origine.
Altrimenti esiste un vettore
che appartiene a
. Quindi
non e' un multiplo scalare di
, allora
e
sono linearmente indipendenti.
contiene sia
che
, quindi contiene
, che e' il piano passante per l'origine con vettori direzione
e
.
Se
allora e' un sottospazio vettoriale. Altrimenti, esiste un vettore
che appartiene a
.
Allora concludiamo che
,
non e' multiplo scalare di
,
non e' una combinazione lineare di
e
(non appartiene allo span). Allora concludiamo che
sono linearmente indipendenti, e questa terna e' una base di
.
Allora per ogni
, esistono e sono unici
tali per cui
.
ma questo e' un elemento dello span perche' e' combinazione lineare di elementi di
. Allora concludo che
.
I sottospazi vettoriali di
sono lo spazio nullo, le rette per l'origine, i piani per l'origine, lo spazio
.
Lemma 5.2
Se
e' uno spazio vettoriale, siano
elementi di
. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
- qualcuno dei
puo' essere espresso come una combinazione lineare di tutti gli altri, cioe' esistono
tali che

- esistono
non tutti nulli t.c. la combinazione lineare dei
con coefficienti
e' il vettore nullo di
.
Dimostrazione 5.5
: Se vale 1, per qualche
,
, allora ricavo che il vettore nullo di
e'

Questa e' una combinazione lineare dei

che mi dà il vettore nullo. Il coefficiente di

e' uguale a

, e' diverso da 0.
Se uno dei
e' combinazione lineare dei restanti trovo una combinazione lineare di
con un coefficiente diverso da 0.
: Siano
numeri reali tali che
e' uguale al vettore nullo e per esempio sia per qualche
,
diverso da 0, per
.
Allora concludo che

Allora siccome

, ricavo che

e'


cvd
Definizione 5.5
Se
soddisfano una qualsiasi delle due condizioni precedenti, diremo che
sono linearmente dipendenti.
altrimenti diremo che sono linearmente indipendenti.
Quindi
sono linearmente indipendenti se e solo se nessuno dei
e' combinazione lineare dei restanti
, o equivalentemente se ho una combinazione lineare
solo quando tutti i
sono nulli.
Esempio 5.11
Un singolo vettore è sempre linearmente indipendente quando è diverso dal vettore nullo.
se
sono linearmente indipendenti, allora necessariamente
e' diverso dal vettore nullo per
. Infatti, se ad esempio
, potrei scriverlo come combinazione degli altri
vettori prendendo gli scalari tutti nulli.
Proposizione 5.3
Se
e' uno spazio vettoriale e
sono elementi di
, allora
sono linearmente indipendenti se e solo se valgono le seguenti condizioni:

- se
, allora
non e' combinazione lineare di 
Dimostrazione 5.6
Supponiamo che valgano le due condizioni e che per assurdo siano
linearmente dipendenti. Allora esistono
non tutti nulli tali che
. Sia j il piu' grande indice tale che
.
se
. Alora sicuramente
.
Se
,

Quindi

. Questo e' assurdo perche' contraddice l'ipotesi 1.
Se

, allora

Se

., ricavo che

Allora

e' combinazione lineare dei precedenti vettori. Questo e' assurdo perche' contraddice 2.
cvd
Definizione 5.6
Sia
uno spazio vettoriale su
. Una k-upla ordinata (sequenza ordinata di k)
si dice una base di
se valgono le due seguenti proprieta':
e' generato da
, ossia ogni vettore di
si puo' esprimere come combinazione lineare di
;(lo span e' l'insieme delle combinazioni lineari di
). Per ogni
esistono
tali che
.
- i vettori
sono linearmente indipendenti.
Se
e' una base di
, qualsiasi riordinamento dei
e' ancora una base di
, ma una base diversa.
Esempio 5.12
e' una base di
e' la base canonica di
In generale

e' una base di

.
Esempio 5.13
Se prendo
insieme dei polinomi di grado minore o uguale di
, se prendo un polinomio
per certi
numeri reali,
sono un sistema di generatori di
.
sono un sistema di generatori e sono indipendenti e sono una base per lo spazio.
Definizione 5.7
Se
e' uno spazio vettoriale, un sistema di generatori per
e' una famiglia
di vettori
tali che
e' lo span di
.
sono un sistema di generatori per
se
.
Lemma 5.3
Sia
uno spazio vettoriale e sia
una base di
. Allora i
sono un sistema di generatori per
e sono linearmente indipendenti. Per ogni scelta di
esisono e sono unici
tali che

Dimostrazione 5.7
L'esistenza degli scalari si ha per definizione, perche'
sono un sistema di generatori per
.
Dimostro l'unicità. Siano
e
in
tali che
ma
e' anche uguale a
.
Eguaglio le due condizioni.

ma

sono linearmente indipendenti quindi tutti i coefficienti devono essere uguali a 0, cioè

per ogni

.
cvd
Definizione 5.8
Sia
una base di
. Se
, siano
gli unici scalari tali per cui
. Allora il vettore colonna dato dalla k-upla si chiama vettore delle coordinate di
nella base
. Allora il vettore
si dice vettore delle coordinate di
rispetto alla base
.
Ogni base
definisce un'applicazione biunivoca
, che porta un vettore
nella corrispondete colonna delle coordinate nella base.
Esempio 5.14
Se chiamo
la base di
, la colonna delle coordinate del polinomio
rispetto alla base e' la colonna dei coefficienti
.