Combinazione lineare di un insieme di vettori

Definizione di span

Definizione 5.3

Se $V$$V$ e' uno spazio vettoriale su $K$$K$, e scegliamo vettori $v_{1},\dots v_{k}\in V$$v_{1},\dots v_{k}\in V$ e scalari $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$ la combinazione lineare di $v_{1},\dots v_{k}$$v_{1},\dots v_{k}$ con coefficienti $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ e' il vettore

$$\lambda _{1}*v_{1}+\lambda _{2}*v_{2}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}*v_{i}.$$

$$\lambda _{1}*v_{1}+\lambda _{2}*v_{2}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}*v_{i}.$$

 

La scrittura non e' ambigua, perche' in virtu' dell'associativita', l'ordine con cui sommo gli elementi non cambia.

Definizione 5.4

Sia $V$$V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ e siano $v_{1},\dots ,v_{k}\in V$$v_{1},\dots ,v_{k}\in V$. Definiamo

$${\rm {{span}\{v_{1},\dots ,v_{k}\}=\{\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k},\,\lambda _{i}\in \mathbb {R} \}}}$$

$${\rm {{span}\{v_{1},\dots ,v_{k}\}=\{\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k},\,\lambda _{i}\in \mathbb {R} \}}}$$

$$=\{\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}*v_{i},\lambda _{i}\in \mathbb {R} \}$$

$$=\{\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}*v_{i},\lambda _{i}\in \mathbb {R} \}$$

Lo span di un insieme di vettori è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di tali vettori.

 

Esempio 5.8

Se $v\in \mathbb {R} ^{d},\,v\neq 0$$v\in \mathbb {R} ^{d},\,v\neq 0$, il suo span e' l'insieme dei multipli scalari della forma $\{\lambda *v,\,\lambda \in \mathbb {R} \}$$\{\lambda *v,\,\lambda \in \mathbb {R} \}$. E' la retta passante per l'origine e con direzione $v$$v$, ossia congiungente l'origine e $v$$v$ stesso.

 

Esempio 5.9

Se prendo $v,w\in \mathbb {R} ^{3}$$v,w\in \mathbb {R} ^{3}$ linearmente indipendenti e non nulli, allora

$${\rm {{span}\{v,w\}=\{\lambda *v+\mu *w,\,\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}.}}$$

$${\rm {{span}\{v,w\}=\{\lambda *v+\mu *w,\,\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}.}}$$

E' il piano passante per l'origine con vettori direzione $v$$v$ e $w$$w$.

 

Esempio 5.10

In $R_{5}[x]$$R_{5}[x]$, i polinomi di grado minore o uguale a $5$$5$, considero

$${\rm {{span}\{1,x,x^{2}\}=\{\lambda _{1}+\mu *x+\gamma *x^{2},\,\lambda ,\mu ,\gamma \in \mathbb {R} \}.}}$$

$${\rm {{span}\{1,x,x^{2}\}=\{\lambda _{1}+\mu *x+\gamma *x^{2},\,\lambda ,\mu ,\gamma \in \mathbb {R} \}.}}$$

E' l'insieme dei polinomi di grado minore o uguale a 2.

 

Span come sottospazio vettoriale

Osservazione 5.4

Se $U$$U$ e' un sottospazio vettoriale di $V$$V$, e $u_{1},\dots ,u_{r}\in U$$u_{1},\dots ,u_{r}\in U$, $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}\in \mathbb {R}$$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}\in \mathbb {R}$, allora sicuramente $\lambda _{1}*u_{1}+\dots +\lambda _{r}*u_{r}\in U$$\lambda _{1}*u_{1}+\dots +\lambda _{r}*u_{r}\in U$.

 

Dimostrazione 5.3

Per $r=1,r=2$$r=1,r=2$, questa e' una definizione. Se $r=3$$r=3$, allora posso scrivere $(\lambda _{1}*u_{1}+\lambda _{2}*u_{2})+\lambda _{3}*u_{3}$$(\lambda _{1}*u_{1}+\lambda _{2}*u_{2})+\lambda _{3}*u_{3}$ per l'associativita'. Ma il primo termine tra parentesi e' un elemento di $U$$U$ per il caso $r=2$$r=2$, il secondo e' un elemento di $U$$U$ per il caso $r=1$$r=1$, allora la somma appartiene a $U$$U$.

Ipotesi induttiva: Per induzione, questo e' vero per un certo $R\geq 2$$R\geq 2$. Passo a $r+1$$r+1$, e scrivo $(\lambda _{1}*u_{1}+\dots +\lambda _{r}*u_{r})+\lambda _{r+1}*u_{r+1}$$(\lambda _{1}*u_{1}+\dots +\lambda _{r}*u_{r})+\lambda _{r+1}*u_{r+1}$. Il primo termine appartiene a $U$$U$ per ipotesi induttiva e il secondo per il primo caso. Allora anche la somma appartiene.

 

Proposizione 5.2

Sia $V$$V$ uno spazio vettoriale su $K$$K$. siano $v_{1},\dots ,v_{k}\in V$$v_{1},\dots ,v_{k}\in V$. Allora lo ${\rm {{span}\{v_{1},\dots ,v_{k}\}}}$${\rm {{span}\{v_{1},\dots ,v_{k}\}}}$ e' un sottospazio vettoriale di $V$$V$. Piu' precisamente, ${\rm {{span}\{v_{1},\dots ,v_{k}\}}}$${\rm {{span}\{v_{1},\dots ,v_{k}\}}}$ e' il piu' piccolo sottospazio vettoriale di $V$$V$ contenente i vettori $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$. Tutti i sottospazi vettoriali di $V$$V$ che contengono $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ contengono lo span di $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$.

 

Dimostrazione 5.4

Dimostro che lo span è un sottospazio vettoriale:

1. Posso scrivere lo $0_{v}$$0_{v}$ come $0*v_{1}+\dots +0*v_{k}$$0*v_{1}+\dots +0*v_{k}$ e appartiene allo span di $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$. Allora lo span contiene l'origine ed e' non vuoto.
2. Siano $v$$v$ e $v'$$v'$ appartenenti allo span di $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$. Siano $\lambda ,\lambda '\in \mathbb {R}$$\lambda ,\lambda '\in \mathbb {R}$. Per definizione, esistono $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k}$$\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k}$ e $\beta _{1},\dots ,\beta _{k}\in \mathbb {R}$$\beta _{1},\dots ,\beta _{k}\in \mathbb {R}$ tali che
   $$v=\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\alpha _{k}*v_{k}$$

   $$v=\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\alpha _{k}*v_{k}$$
   $$v'=\beta _{1}*v_{1}+\dots +\beta _{k}*v_{k}$$

   $$v'=\beta _{1}*v_{1}+\dots +\beta _{k}*v_{k}$$
   Se considero la combinazione lineare $\lambda *v+\lambda 'v'$$\lambda *v+\lambda 'v'$, essa e' uguale a
   $$\lambda +\lambda '(\beta _{1}*v_{1}+\dots +\beta _{k}*v_{k})$$

   $$\lambda +\lambda '(\beta _{1}*v_{1}+\dots +\beta _{k}*v_{k})$$
   Per distributivita'
   $$\lambda *\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\lambda *\alpha _{k}*v_{k}+\lambda '*\beta _{1}*v_{1}+\dots +\lambda '*\beta _{k}*v_{k}$$

   $$\lambda *\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\lambda *\alpha _{k}*v_{k}+\lambda '*\beta _{1}*v_{1}+\dots +\lambda '*\beta _{k}*v_{k}$$
   Uso la commutativita'
   $$\lambda *\alpha _{1}*v_{1}+\lambda '*\beta _{1}*v_{1}+\dots +\lambda *\alpha _{k}*v_{k}+\lambda '*\beta _{k}*v_{k}$$

   $$\lambda *\alpha _{1}*v_{1}+\lambda '*\beta _{1}*v_{1}+\dots +\lambda *\alpha _{k}*v_{k}+\lambda '*\beta _{k}*v_{k}$$
   Uso la distributivita' rispetto alla somma di scalari
   $$(\lambda \alpha _{1}+\lambda *\beta _{1})*v_{1}+(\lambda '*\beta _{1}+\lambda '*\beta _{k})*v_{k}$$

   $$(\lambda \alpha _{1}+\lambda *\beta _{1})*v_{1}+(\lambda '*\beta _{1}+\lambda '*\beta _{k})*v_{k}$$
   $$\sum _{i=1}^{k}(\lambda *\alpha _{j}+\lambda '*\beta _{j})*v_{j},\,j=1,\dots ,k$$

   $$\sum _{i=1}^{k}(\lambda *\alpha _{j}+\lambda '*\beta _{j})*v_{j},\,j=1,\dots ,k$$
   E' ancora una combinazione lineare dei vettori.

Dimostro che lo span è il più piccolo spazio vettoriale che contiene i vettori: se $U$$U$ in $V$$V$ e' un qualsiasi sottospazio vettoriale, che contiene $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ allora $U$$U$ contiene anche $\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}$$\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}$, la combinazione lineare di $v_{i}$$v_i$ con i coefficienti $\lambda _{i}$$\lambda_i$ per ogni scelta di $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$. Quindi $U$$U$ contiene ogni elemento di ${\rm {{span}\{v_{1},\dots ,v_{k}\}}}$${\rm {{span}\{v_{1},\dots ,v_{k}\}}}$. Quindi $U$$U$ contiene lo span.

 

classificazione dei sottospazi vettoriali di R3

Sia $U$$U$ in $\mathbb {R} ^{3}$$\mathbb {R} ^{3}$ un sottospazio vettoriale. Allora l'elemento neutro appartiene a $U$$U$.

Se $U$$U$ consiste del solo elemento neutro, allora e' lo spazio nullo. Altrimenti esiste $v\in U\neq 0$$v\in U\neq 0$.

Allora $U$$U$ contiene lo span di $v$$v$, che e' l'insieme dei multipli scalari di $v$$v$, indicati con $tv$$tv$ al variare di $t\in \mathbb {R}$$t\in \mathbb {R}$. Lo span di $v$$v$ e' la retta passante per l'origine e con vettore direzione $v$$v$.

Se $U={\rm {{span}\{v\}}}$$U={\rm {{span}\{v\}}}$ allora $U$$U$ e' una retta per l'origine. Altrimenti esiste un vettore $w$$w$ che appartiene a $U\smallsetminus \{{\rm {{span}\{v\}\}}}$$U\smallsetminus \{{\rm {{span}\{v\}\}}}$. Quindi $w$$w$ non e' un multiplo scalare di $v$$v$, allora $v$$v$ e $w$$w$ sono linearmente indipendenti.

$U$$U$ contiene sia $v$$v$ che $w$$w$, quindi contiene ${\rm {{span}\{v,w\}}}$${\rm {{span}\{v,w\}}}$, che e' il piano passante per l'origine con vettori direzione $v$$v$ e $w$$w$.

Se $U={\rm {{span}\{v,w\}}}$$U={\rm {{span}\{v,w\}}}$ allora e' un sottospazio vettoriale. Altrimenti, esiste un vettore $u$$u$ che appartiene a $U\smallsetminus \{{\rm {{span}\{v,w\}\}}}$$U\smallsetminus \{{\rm {{span}\{v,w\}\}}}$. Allora concludiamo che $v\neq 0$$v\neq 0$, $w$$w$ non e' multiplo scalare di $v$$v$, $u$$u$ non e' una combinazione lineare di $v$$v$ e $w$$w$ (non appartiene allo span). Allora concludiamo che $v,w,u$$v,w,u$ sono linearmente indipendenti, e questa terna e' una base di $\mathbb {R} ^{3}$$\mathbb {R} ^{3}$. Allora per ogni $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$$(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$, esistono e sono unici $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R}$$\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R}$ tali per cui $(x,y,z)=\alpha *v+\beta *w+\gamma *u$$(x,y,z)=\alpha *v+\beta *w+\gamma *u$. ma questo e' un elemento dello span perche' e' combinazione lineare di elementi di $U$$U$. Allora concludo che $U=\mathbb {R} ^{3}$$U=\mathbb {R} ^{3}$.

I sottospazi vettoriali di $\mathbb {R} ^{3}$$\mathbb {R} ^{3}$ sono lo spazio nullo, le rette per l'origine, i piani per l'origine, lo spazio $\mathbb {R} ^{3}$$\mathbb {R} ^{3}$.

condizioni equivalenti

Lemma 5.2

Se $V$$V$ e' uno spazio vettoriale, siano $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ elementi di $V$$V$. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

• qualcuno dei $v_{j}$$v_{j}$ puo' essere espresso come una combinazione lineare di tutti gli altri, cioe' esistono $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{j-1},\alpha _{j+1},\dots ,\alpha _{k}$$\alpha _{1},\dots ,\alpha _{j-1},\alpha _{j+1},\dots ,\alpha _{k}$ tali che

$$\alpha _{j}*v_{j}=\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\alpha _{j-1}*v_{j-1}+\alpha _{j+1}*v_{j+1}+\dots +\alpha _{k}*v_{k}$$

$$\alpha _{j}*v_{j}=\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\alpha _{j-1}*v_{j-1}+\alpha _{j+1}*v_{j+1}+\dots +\alpha _{k}*v_{k}$$

• esistono $\lambda 1,\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$$\lambda 1,\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$ non tutti nulli t.c. la combinazione lineare dei $v_{i}$$v_i$ con coefficienti $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ e' il vettore nullo di $V$$V$.

 

Dimostrazione 5.5

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: Se vale 1, per qualche $j$$j$, $v_{j}=\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\alpha _{k}*v_{k}$$v_{j}=\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\alpha _{k}*v_{k}$, allora ricavo che il vettore nullo di $V$$V$ e'

$$\alpha _{1}*v_{1}+\cdots +\alpha _{j-1}*v_{j-1}-1*v_{j}+\alpha _{j+1}v_{j+1}+\cdots +a_{k}*v_{k}$$

$$\alpha _{1}*v_{1}+\cdots +\alpha _{j-1}*v_{j-1}-1*v_{j}+\alpha _{j+1}v_{j+1}+\cdots +a_{k}*v_{k}$$

Questa e' una combinazione lineare dei $v_{i}$$v_i$ che mi dà il vettore nullo. Il coefficiente di $v_{j}$$v_{j}$ e' uguale a $-1$$-1$, e' diverso da 0.

Se uno dei $v_{j}$$v_{j}$ e' combinazione lineare dei restanti trovo una combinazione lineare di $v_{i}$$v_i$ con un coefficiente diverso da 0.

$2\longrightarrow 1$$2\longrightarrow 1$: Siano $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ numeri reali tali che $\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}$$\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}$ e' uguale al vettore nullo e per esempio sia per qualche $j$$j$, $\lambda _{j}$$\lambda _{j}$ diverso da 0, per $1<j<k$$1<j<k$. Allora concludo che

$$\lambda _{j}*v_{j}=-\lambda _{1}*v_{1}+\dots ++(-\lambda *v_{j+1})+\dots +=\sum _{i\neq j,i=1}^{k}-\lambda _{i}*v_{i}.$$

$$\lambda _{j}*v_{j}=-\lambda _{1}*v_{1}+\dots ++(-\lambda *v_{j+1})+\dots +=\sum _{i\neq j,i=1}^{k}-\lambda _{i}*v_{i}.$$

Allora siccome $\lambda _{j}\neq 0$$\lambda _{j}\neq 0$, ricavo che $v_{j}$$v_{j}$ e'

$$v_{j}={\frac {-\lambda _{1}}{\lambda _{j}}}*v_{1}-{\frac {\lambda _{j-1}}{\lambda _{j}}}*v_{j-1}+\dots -{\frac {\lambda _{j+1}}{\lambda _{j}}}*v_{j+1}-{\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{j}}}*v_{k}=$$

$$v_{j}={\frac {-\lambda _{1}}{\lambda _{j}}}*v_{1}-{\frac {\lambda _{j-1}}{\lambda _{j}}}*v_{j-1}+\dots -{\frac {\lambda _{j+1}}{\lambda _{j}}}*v_{j+1}-{\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{j}}}*v_{k}=$$

$$v_{j}=\sum _{i\neq j,i=1}^{k}{\frac {-\lambda _{i}}{\lambda _{j}}}*v_{i}$$

$$v_{j}=\sum _{i\neq j,i=1}^{k}{\frac {-\lambda _{i}}{\lambda _{j}}}*v_{i}$$

cvd

 

Vettori linarmente indipendenti

Definizione 5.5

Se $v_{1}\dots ,v_{k}$$v_{1}\dots ,v_{k}$ soddisfano una qualsiasi delle due condizioni precedenti, diremo che $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ sono linearmente dipendenti. altrimenti diremo che sono linearmente indipendenti.

 

Quindi $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ sono linearmente indipendenti se e solo se nessuno dei $v_{j}$$v_{j}$ e' combinazione lineare dei restanti $v_{i}$$v_i$, o equivalentemente se ho una combinazione lineare $\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}=0$$\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}=0$ solo quando tutti i $\lambda _{i}$$\lambda_i$ sono nulli.

Esempio 5.11

Un singolo vettore è sempre linearmente indipendente quando è diverso dal vettore nullo.

se $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ sono linearmente indipendenti, allora necessariamente $v_{j}$$v_{j}$ e' diverso dal vettore nullo per $1<j<k$$1<j<k$. Infatti, se ad esempio $v_{j}=0$$v_{j}=0$, potrei scriverlo come combinazione degli altri $j-1$$j-1$ vettori prendendo gli scalari tutti nulli.

 

Proposizione 5.3

Se $V$$V$ e' uno spazio vettoriale e $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ sono elementi di $V$$V$, allora $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ sono linearmente indipendenti se e solo se valgono le seguenti condizioni:

1. $v_{1}\neq 0_{V}$$v_{1}\neq 0_{V}$
2. se $j\geq 2$$j\geq 2$, allora $v_{j}$$v_{j}$ non e' combinazione lineare di $v_{1},v_{j-1},v_{j+1},v_{k}$$v_{1},v_{j-1},v_{j+1},v_{k}$

 

Dimostrazione 5.6

Supponiamo che valgano le due condizioni e che per assurdo siano $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ linearmente dipendenti. Allora esistono $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k}\in \mathbb {R}$$\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k}\in \mathbb {R}$ non tutti nulli tali che $\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\alpha _{k}*v_{k}=0$$\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\alpha _{k}*v_{k}=0$. Sia j il piu' grande indice tale che $\alpha _{j}\neq 0$$\alpha _{j}\neq 0$. $a_{s}=0$$a_{s}=0$ se $s>j$$s>j$. Alora sicuramente $1<j<k$$1<j<k$.

Se $j=1$$j=1$,

$$\alpha _{1}*v_{1}+0*v_{2}+\dots +0*v_{k}=0=\alpha _{1}*v_{1}.$$

$$\alpha _{1}*v_{1}+0*v_{2}+\dots +0*v_{k}=0=\alpha _{1}*v_{1}.$$

Quindi $v_{1}=0$$v_{1}=0$. Questo e' assurdo perche' contraddice l'ipotesi 1. Se $j\geq 1$$j\geq 1$, allora

$$\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\alpha _{j}*v_{j}+\dots =0$$

$$\alpha _{1}*v_{1}+\dots +\alpha _{j}*v_{j}+\dots =0$$

Se $\alpha _{j}\neq 0$$\alpha _{j}\neq 0$., ricavo che

$$v_{j}=-{\frac {\alpha _{1}}{a_{j}}}*v_{1}-{\frac {\alpha _{j-1}}{a_{j}}}*v_{j-1}+\dots$$

$$v_{j}=-{\frac {\alpha _{1}}{a_{j}}}*v_{1}-{\frac {\alpha _{j-1}}{a_{j}}}*v_{j-1}+\dots$$

Allora $v_{j}$$v_{j}$ e' combinazione lineare dei precedenti vettori. Questo e' assurdo perche' contraddice 2.

cvd

 

Basi

Definizione 5.6

Sia $V$$V$ uno spazio vettoriale su $K$$K$. Una k-upla ordinata (sequenza ordinata di k) $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ si dice una base di $V$$V$ se valgono le due seguenti proprieta':

1. $V$$V$ e' generato da $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$, ossia ogni vettore di $V$$V$ si puo' esprimere come combinazione lineare di $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$;(lo span e' l'insieme delle combinazioni lineari di $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$). Per ogni $v\in V$$v \in V$ esistono $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$ tali che$v=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}*v_{i}$$v=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}*v_{i}$.
2. i vettori $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ sono linearmente indipendenti.

 

Osservazione 5.5

Se $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ e' una base di $V$$V$, qualsiasi riordinamento dei $v_{i}$$v_i$ e' ancora una base di $V$$V$, ma una base diversa.

 

Esempio 5.12

${\mathcal {C}}_{2}=\{(1,0),(0,1)\}$${\mathcal {C}}_{2}=\{(1,0),(0,1)\}$ e' una base di $\mathbb {R} ^{2}$$\mathbb {R} ^{2}$

${\mathcal {C}}_{3}=\{(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)\}$${\mathcal {C}}_{3}=\{(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)\}$ e' la base canonica di $\mathbb {R} ^{3}$$\mathbb {R} ^{3}$ In generale

$${\mathcal {C}}_{k}=\{(1,0,0,\dots ),\dots ,(\dots 0,0,1)\}$$

$${\mathcal {C}}_{k}=\{(1,0,0,\dots ),\dots ,(\dots 0,0,1)\}$$

e' una base di $\mathbb {R} ^{k}$$\mathbb {R} ^{k}$.

 

Esempio 5.13

Se prendo $\mathbb {R} _{d}[X]$$\mathbb {R} _{d}[X]$ insieme dei polinomi di grado minore o uguale di $d$$d$, se prendo un polinomio $p(x)=p_{0}+p_{1}*x+\cdots +p_{d}*x^{d}$$p(x)=p_{0}+p_{1}*x+\cdots +p_{d}*x^{d}$ per certi $v_{i}$$v_i$ numeri reali, $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ sono un sistema di generatori di $V$$V$.

$\{1,x,\dots ,x^{d}\}$$\{1,x,\dots ,x^{d}\}$ sono un sistema di generatori e sono indipendenti e sono una base per lo spazio.

 

Sistema di generatori

Definizione 5.7

Se $V$$V$ e' uno spazio vettoriale, un sistema di generatori per $V$$V$ e' una famiglia $v_{i}$$v_i$ di vettori $\{v_{1},\dots ,v_{k}\}$$\{v_{1},\dots ,v_{k}\}$ tali che $V$$V$ e' lo span di $v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$.

$v_{1},\dots ,v_{k}$$v_{1},\dots ,v_{k}$ sono un sistema di generatori per $U$$U$ se $U={\rm {{span}\{v_{1},\dots ,v_{k}\}}}$$U={\rm {{span}\{v_{1},\dots ,v_{k}\}}}$.

 

Lemma 5.3

Sia $V$$V$ uno spazio vettoriale e sia $\{v_{1},\dots ,v_{k}\}$$\{v_{1},\dots ,v_{k}\}$ una base di $V$$V$. Allora i $v_{i}$$v_i$ sono un sistema di generatori per $V$$V$ e sono linearmente indipendenti. Per ogni scelta di $v\in V$$v \in V$ esisono e sono unici $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$ tali che

$$v=\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}*v_{i}.$$

$$v=\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}*v_{i}.$$

 

Dimostrazione 5.7

L'esistenza degli scalari si ha per definizione, perche' $v_{i}$$v_i$ sono un sistema di generatori per $V$$V$.

Dimostro l'unicità. Siano $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ e $\eta _{1},\dots ,\eta _{k}$$\eta _{1},\dots ,\eta _{k}$ in $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ tali che $v=\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}$$v=\lambda _{1}*v_{1}+\dots +\lambda _{k}*v_{k}$ ma $v$$v$ e' anche uguale a $\eta _{1}*v_{1}+\eta _{k}*v_{k}$$\eta _{1}*v_{1}+\eta _{k}*v_{k}$. Eguaglio le due condizioni.

$$(\lambda _{1}-\eta _{1})v_{1}+(\lambda _{k}-\eta _{k}))v_{k}=0$$

$$(\lambda _{1}-\eta _{1})v_{1}+(\lambda _{k}-\eta _{k}))v_{k}=0$$

ma $v_{i}$$v_i$ sono linearmente indipendenti quindi tutti i coefficienti devono essere uguali a 0, cioè $\lambda _{i}-\eta _{i}=0$$\lambda _{i}-\eta _{i}=0$ per ogni $i$$i$.

cvd

 

coordinate

Definizione 5.8

Sia $v=(v_{1},\dots ,v_{k})$$v=(v_{1},\dots ,v_{k})$ una base di $V$$V$. Se $v\in V$$v \in V$, siano $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$ gli unici scalari tali per cui $v=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}*v_{i}$$v=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}*v_{i}$. Allora il vettore colonna dato dalla k-upla si chiama vettore delle coordinate di $v$$v$ nella base ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$. Allora il vettore $M_{\mathcal {B}}(v)=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{i},\dots ,\lambda _{k})$$M_{\mathcal {B}}(v)=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{i},\dots ,\lambda _{k})$ si dice vettore delle coordinate di $v$$v$ rispetto alla base ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$.

 

Ogni base ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ definisce un'applicazione biunivoca $M_{\mathcal {B}}:V\to \mathbb {R} ^{k}$$M_{\mathcal {B}}:V\to \mathbb {R} ^{k}$, che porta un vettore $v$$v$ nella corrispondete colonna delle coordinate nella base.

Esempio 5.14

Se chiamo ${\mathcal {B}}=\{1,x,\dots ,x^{d}\}$${\mathcal {B}}=\{1,x,\dots ,x^{d}\}$ la base di $R_{d}[x]$$R_{d}[x]$, la colonna delle coordinate del polinomio $p_{0}+p_{1}*x+\cdots +p_{d}*x^{d}$$p_{0}+p_{1}*x+\cdots +p_{d}*x^{d}$ rispetto alla base e' la colonna dei coefficienti $p_{0},p_{1},\dots ,p_{d}$$p_{0},p_{1},\dots ,p_{d}$.