Invertibilità di matrici

Matrici quadrate[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 10.4

Una matrice si dice quadrata se il numero delle righe e' uguale al numero delle colonne e lo spazio delle matrici quadrate si denota con .

 
Osservazione 10.5

Se prendiamo matrici quadrate e , anche e sono elementi di . Quindi il prodotto di matrici diventa un'operazione associativa definita da a valori in .

Se ottengo l'ordinario prodotto di numeri reali che è commutativo, ma per questo prodotto non è comutativo, infatti posso considerare le matrici:

Se prendo le matrici

e
Allora
e i risultati sono diversi.

 

Matrice diagonale[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 10.5

Una matrice si dice diagonale se e solo se tutte le sue entrate tranne quelle della diagonale sono uguali a 0.

 
Definizione 10.6

Per ogni intero, la matrice identica e' la matrice che ha come colonne i valori della base canonica di . E' la matrice diagonale con tutte le entrate diagonali uguali a 1.

 

Questa matrice si chiama identica perché corrisponde all'applicazione lineare identica, infatti il prodotto di questa matrice per un vettore colonna ha come risultato il vettore stesso.

Matrice invertibile[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 10.7

Una matrice quadrata si dice invertibile se esiste una matrice quadrata tale che e questo prodotto deve dare la matrice identica.

 

Rango della matrice composta[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 10.6

Supponiamo che , , siano spazi finitodimensionali. Allora e' la dimensione dello spazio immagine. Siccome e' contenuto nello spazio , segue che . E' anche vero che quindi Riassumendo

Per esempio, si avra' se e solo se e' iniettiva. Questo vuol dire che e' 0, cioè .

 

In generale, Se ho un'applicazione lineare e suppongo che sia un sottospazio di , se considero la restrizione essa e' lineare. Il ker e' l'intersezione .


Osservazione 10.7

Se e' la matrice identica con le entrate diagonali uguali a 1, allora per ogni matrice si ha che . e' l'unita' della moltiplicazione. Il prodotto e' uguale a

L'entrata della matrice identita' e' il , e' uguale a 1 se e uguale a 0 se . Quindi calcolando il prodotto rimane .

 



e' la matrice che corrisponde all'identita', quindi la matrice corrisponde a .

Invertibilità di matrici quadrate[modifica | modifica wikitesto]

Non tutte le matrici sono invertibili, come mostra il seguente esempio. Considero matrici tali che e' la matrice nulla. Se fosse una matrice invertibile, esisterebbe una matrice tale che e' uguale alla matrice identica , allora e' per la matrice nulla quindi a sua volta il risultato e' una matrice nulla. Ma il prodotto e' associativo, quindi , dove e' la matrice identica perche' e' invertibile, quindi ottengo che l'uguaglianza

corrisponde a
Ma questo e' assurdo perchè sono diverse da 0. Quindi non tutte le matrici sono invertibili.

Unicità della matrice inversa[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 10.8

Sia una matrice e supponiamo che esistano e matrici inverse sinistra e destra di tali che Allora certamente , infatti si ha

Quindi se una matrice ammette un'inversa destra e un'inversa sinistra le due matrici sono uguali.

 

Relazione tra iniettivita' e matrice inversa[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 10.3

Siano e spazi vetoriali finitodimensionali su . Sia lineare. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

  • e' iniettiva, cioe' il suo ker e' 0;
  • esiste lineare tale che
 


Dimostrazione 10.2

La condizione 2 implica 1, perche' esiste una funzione con questa proprieta' se e solo se e' iniettiva (visto parlando di insiemistica).

La condizione 1 implica 2. Sia una base di . Siano la dimensione di , la dimensione di . Allora e e' iniettiva se e solo se il rango di e' uguale alla dimensione di , quindi , quindi , quindi sono una base dello spazio immagine.

Per il teorema della base incompleta supponiamo per comodita' , esistono tali che e' una base di .

Sia l'unica applicazione lineare da in tale che per e . Allora per costruzione . Siccome coincide con i vettori della base, .

cvd

 

Suriettività e invertibilità[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 10.4

Siano e spazi vettoriali finitodimensionali e sia lineare, allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

  • e' suriettiva;
  • esiste lineare tale che
 


Dimostrazione 10.3

Dimostro che 2 implica 1. Abbiamo dimostrato parlando di insiemistica che esiste una funzione tale che se e solo se la funzione e' suriettiva.

Dimostro che 1 implica 2. Se e' surettiva, allora la dimensione di e' uguale alla dimensione dell'immagine. Sia la dimensione dell'immagine e sia una base di . La dimensione di e' sicuramente minore o uguale di quella di . Allora esiste una funzione tale che . Allora si ha che , ,

cvd

 

Inversa destra e inversa sinistra[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice ammette un'inversa sinistra se e solo se esiste una matrice tale che , quindi se e solo se esiste una matrice tale che l'applicazione e' l'applicazione identica.


Quindi se e solo se esiste una matrice tale che e' uguale all'identita'.


Quindi se e solo se esiste lineare tale che . Per il teorema dimostrato questo equivale a dire che e' un'applicazione lineare iniettiva.


Se e' una matrice allora esiste una matrice tale che se e solo se e' iniettiva e quindi se e solo se il nucleo di e' uguale al vettore nullo di .


Questo equivale a dire che e' suriettiva (se il nucleo e' nullo la dimensione di e' uguale a quella dell'immagine e quindi a quella di ). Quindi e' un isomorfismo , quindi un automorfismo di .


Allo stesso modo, sia una matrice in . Allora ammette inversa destra, ossia esiste tale che e' la matrice identita' se e solo se esiste lineare tale che . Questo equivale a dire che e' suriettiva Data una matrice esiste tale che e' identita' se e solo se e' suriettiva. Questo equivale a dire che e' anche iniettiva, quindi se e solo se esiste in tale che .

condizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

Riassumendo:


Teorema 10.5

Sia una matrice allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

  1. e' invertibile, cioe' ammette un'inversa bilatera, quindi esiste una matrice tale che
  2. e' invertibile a sinistra, cioe' esiste A' in tale che
  3. e' invertibile a destra, quindi esiste A tale che
  4. e' iniettiva;
  5. e' suriettiva;
  6. e' un automorfismo, cioe' e' un isomorfismo di con se stesso;
  7. il rango di e' necessariamente k.
  8. le colonne costituiscono una base di , quindi e' la j-esima colonna di A.
 
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