Definizione 15.6
- Sia
uno spazio vettoriale su
. Sia
un prodotto scalare. Lo textit di
indicato con
è l'insieme di tutti i
con la proprietà che
per ogni
.
Teorema 15.1
Lo spazio nullo di un prodotto scalare è uno spazio vettoriale.
Dimostrazione 15.1
per ogni
, quindi il vettore nullo appartiene allo spazio nullo del prodotto scalare, che di conseguenza è non vuoto.
Se
sono elementi dello spazio nullo del prodotto scalare e
sono scalari, per ogni
si ha che, per la linearità di
nella prima componente,

siccome

e

stanno nello spazio nullo ottengo che

per ogni scelta di

, e quindi anche

appartiene allo spazio nullo.
cvd
Sia
. Sia
una matrice simmetrica
e consideriamo il corrispondente prodotto scalare

Determiniamo lo spazio nullo di questo prodotto scalare.
appartiene allo spazio nullo di
se e solo se
per ogni
, quindi
appartiene allo spazio nullo se e solo se
per ogni
, oppure se e solo se
per ogni
che appartiene a
.
Il prodotto scalare standard è non degenere, quindi affinché la condizione sia vera
dev'essere necessariamente il vettore nullo di
. Di conseguenza
appartiene allo spazio nullo se e solo se
.
In conclusione, lo spazio nullo di
prodotto scalare su
è il nucleo della matrice
.
Abbiamo una corrispondenza biunivoca tra l'insieme di tutti i prodotti scalari non degeneri

e le matrici simmetriche invertibili (infatti se una matrice è invertibile, il suo nucleo, e quindi il suo spazio nullo, è ridotto al solo zero e quindi il prodotto scalare è non degenere).
Esempio 15.9
La matrice

è una matrice simmetrica e definisce un prodotto scalare dato da


è un prodotto scalare non degenere perchè

è invertibile.
Esempio 15.10
Data la matrice

il prodotto scalare ad essa associato è

quindi

è degenere perchè la matrice non è invertibile.
Lo spazio nullo del prodotto scalare è il nucleo della matrice, e quindi è
.