Spazio nullo di un prodotto scalare

Definizione 15.6
Sia uno spazio vettoriale su . Sia un prodotto scalare. Lo textit di indicato con è l'insieme di tutti i con la proprietà che per ogni .
 
Teorema 15.1

Lo spazio nullo di un prodotto scalare è uno spazio vettoriale.

 


Dimostrazione 15.1

per ogni , quindi il vettore nullo appartiene allo spazio nullo del prodotto scalare, che di conseguenza è non vuoto.

Se sono elementi dello spazio nullo del prodotto scalare e sono scalari, per ogni si ha che, per la linearità di nella prima componente,

siccome e stanno nello spazio nullo ottengo che per ogni scelta di , e quindi anche appartiene allo spazio nullo.

cvd

 

Caso particolare V= R^n[modifica | modifica wikitesto]

Sia . Sia una matrice simmetrica e consideriamo il corrispondente prodotto scalare

Determiniamo lo spazio nullo di questo prodotto scalare.

appartiene allo spazio nullo di se e solo se per ogni , quindi appartiene allo spazio nullo se e solo se per ogni , oppure se e solo se per ogni che appartiene a .

Il prodotto scalare standard è non degenere, quindi affinché la condizione sia vera dev'essere necessariamente il vettore nullo di . Di conseguenza appartiene allo spazio nullo se e solo se .

In conclusione, lo spazio nullo di prodotto scalare su è il nucleo della matrice .

Abbiamo una corrispondenza biunivoca tra l'insieme di tutti i prodotti scalari non degeneri e le matrici simmetriche invertibili (infatti se una matrice è invertibile, il suo nucleo, e quindi il suo spazio nullo, è ridotto al solo zero e quindi il prodotto scalare è non degenere).
Esempio 15.9

La matrice

è una matrice simmetrica e definisce un prodotto scalare dato da

è un prodotto scalare non degenere perchè è invertibile.
 
Esempio 15.10

Data la matrice

il prodotto scalare ad essa associato è

quindi è degenere perchè la matrice non è invertibile.

Lo spazio nullo del prodotto scalare è il nucleo della matrice, e quindi è .

 
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