Spazio nullo di un prodotto scalare

Definizione 15.6

Sia

V

uno spazio vettoriale su

\mathbb {R}

. Sia

\phi :V\times V\to \mathbb {R}

un prodotto scalare. Lo textit di

\phi

indicato con

\phi ^{\perp }

è l'insieme di tutti i

v \in V

con la proprietà che

\phi (v,v')=0

per ogni

v'\in V

.

Teorema 15.1

Lo spazio nullo di un prodotto scalare è uno spazio vettoriale.

Dimostrazione 15.1

$\phi (0_{V},v')=0$ $\phi (0_{V},v')=0$ per ogni $v'\in V$ $v'\in V$ , quindi il vettore nullo appartiene allo spazio nullo del prodotto scalare, che di conseguenza è non vuoto.

Se $v_{1},v_{2}$ $v_{1},v_{2}$ sono elementi dello spazio nullo del prodotto scalare e $\lambda _{1},\lambda _{2}$ $\lambda _{1},\lambda _{2}$ sono scalari, per ogni $v\in V$ $v \in V$ si ha che, per la linearità di $\phi$ $\phi$ nella prima componente,

\phi ((\lambda _{1}*v_{1}+\lambda _{2}*v_{2}),v')=\lambda _{1}*\phi (v_{1},v')+\lambda _{2}*\phi (v_{2},v')

siccome

v_1

e

v_2

stanno nello spazio nullo ottengo che

\phi (v_{1},v')=\phi (v_{2},v')=0

per ogni scelta di

v'

, e quindi anche

\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}

appartiene allo spazio nullo.

cvd

Caso particolare V= R^n[modifica | modifica wikitesto]

Sia $V=\mathbb {R} ^{n}$ $V=\mathbb {R} ^{n}$ . Sia $C$ $C$ una matrice simmetrica $nxn$ $nxn$ e consideriamo il corrispondente prodotto scalare

\phi _{C}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \quad t.c.\quad \phi (x,y)=x^{t}*C*y

Determiniamo lo spazio nullo di questo prodotto scalare.

$y$ $y$ appartiene allo spazio nullo di $\phi$ $\phi$ se e solo se $\phi (x,y)=0$ $\phi (x,y)=0$ per ogni $x$ $x$ , quindi $y$ $y$ appartiene allo spazio nullo se e solo se $x^{t}Cy=0$ $x^{t}Cy=0$ per ogni $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ , oppure se e solo se $x\cdot Cy=0$ $x\cdot Cy=0$ per ogni $x$ $x$ che appartiene a $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ .

Il prodotto scalare standard è non degenere, quindi affinché la condizione sia vera $Cy$ $Cy$ dev'essere necessariamente il vettore nullo di $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ . Di conseguenza $y$ $y$ appartiene allo spazio nullo se e solo se $y\in \ker C$ $y\in \ker C$ .

In conclusione, lo spazio nullo di $\phi _{C}$ $\phi _{C}$ prodotto scalare su $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ è il nucleo della matrice $C$ $C$ .

Abbiamo una corrispondenza biunivoca tra l'insieme di tutti i prodotti scalari non degeneri

\phi :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

e le matrici simmetriche invertibili (infatti se una matrice è invertibile, il suo nucleo, e quindi il suo spazio nullo, è ridotto al solo zero e quindi il prodotto scalare è non degenere).

Esempio 15.9

La matrice