Sia
uno spazio vettoriale d-dimensionale su
, con
.
Sia
un prodotto scalare e sia
una base di
.
Siano
, e poniamo
e
le colonne delle coordinate di
e
rispettivamente nella base
, in modo che

Allora

Uso la linearita' sulla prima componente.

Uso la linearita' di

sulla seconda componente

Supponiamo

, allora

Definizione 15.9
Se
è un prodotto scalare o piu' in generale una forma bilineare, e se
è una base di
, la matrice di
rispetto alla base
è la matrice
di entrate
.
In particolare vale la relazione
,
.
Se
è un prodotto scalare, allora

quindi anche la matrice

è simmetrica.
Viceversa, se
è una matrice simmetrica
, tale che
, definisco la forma bilineare
tale che

Poiché

(è un numero), traspongo il prodotto di matrici e ottengo

ma

, quindi

pertanto

è anche simmetrica.
Nelle ipotesi precedenti, lo spazio nullo di
è




Questo vuol dire che siccome il prodotto scalare standard è non degenere, allora la condizione è soddisfatta quando

. Quindi

appartiene allo spazio nullo se e solo se

, cioè lo spazio nullo è la controimmagine del nucleo di

mediante

.
Ricavo che la dimensione dello spazio nullo è uguale alla dimensione del nucleo di
, perchè
è un isomorfismo.
Riassumendo,
Proposizione 15.1
Sia
uno spazio vettoriale d-finitodimensionale. Sia
una base di
e sia
un prodotto scalare. Diciamo
la matrice del prodotto scalare nella base data.
Allora lo spazio nullo di
è la controimmagine mediante
del nucleo di
.
In particolare, la dimensione di tale spazio nullo è uguale alla dimensione del nucleo di

, quindi si ricava il seguente corollario.
Corollario 15.1
è non degenere se e solo se lo spazio nullo è ridotto al solo 0, quindi se e solo se
è una matrice invertibile ovvero il nucleo di
è 0.
Esempio 15.13
Sia
la base di
e sia
il prodotto scalare standard.
La matrice del prodotto scalare standard in questa base si ottiene facendo il prodotto scalare tra tutte le combinazioni possibili di vettori. In particolare



quindi

Esempio 15.14
Prendiamo
spazio dei polinomi di grado
, e sia


è un prodotto scalare definito positivo, infatti

può essere uguale a 0 se e solo se

, e questo non è possibile perché un polinomio di grado

non nullo ha al più tre radici.
Prendo la base
e calcolo la matrice di questo prodotto nella base: si sfrutterà più volte il fatto che l'integrale di una funzione dispari su un dominio simmetrico è sempre nullo.


![{\displaystyle a_{22}=\int _{-1}^{1}t^{2}\,dt=2*\int _{0}^{1}t^{2}dt=[t^{3}/3]_{0}^{1}=2/3}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c2aa3a5d1203c2631883d5e7409442387ae60ee8)


![{\displaystyle a_{33}=\int _{-1}^{1}t^{4}dt=2*\int _{0}^{1}t^{4}dt=[2/5*t^{5}]_{0}^{1}=2/5}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/4ec97502b4e65a50821702331bd6915ced0f786e)



![{\displaystyle a_{44}=\int _{-1}^{1}t^{6}dt=[2/7*t^{7}]_{0}^{1}=2/7}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/38ecb8e7f97b5fde5a39d033c086c5522fea1253)
La matrice che ottengo è

Tutte le entrate diagonali sono positive, infatti il prodotto è positivo.
Nelle ipotesi precedenti,
spazio vettoriale,
prodotto scalare,
è definito positivo se e solo se
per ogni
, e quindi se e solo se
con
, e quindi se e solo se
.
La condizione è soddisfatta se
è invertibile e soddisfa il criterio dei minori incapsulati.