Matrici e prodotti scalari in spazi generici

Matrici e forme bilineari

Sia $V$$V$ uno spazio vettoriale d-dimensionale su $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$, con $d\geq 1$$d\geq 1$. Sia $\phi :V\times V\to \mathbb {R}$$\phi :V\times V\to \mathbb {R}$ un prodotto scalare e sia ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{d}\}$${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{d}\}$ una base di $V$$V$. Siano $v,u\in V$$v,u\in V$, e poniamo $X=(x_{1},\dots ,x_{d})$$X=(x_{1},\dots ,x_{d})$ e $Y=(y_{1},\dots ,y_{d})$$Y=(y_{1},\dots ,y_{d})$ le colonne delle coordinate di $v$$v$ e $u$$u$ rispettivamente nella base ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$, in modo che

$$v=\sum _{i=1}^{d}x_{i}*v_{i};\quad u=\sum _{j=1}^{d}y_{j}*v_{j}$$

$$v=\sum _{i=1}^{d}x_{i}*v_{i};\quad u=\sum _{j=1}^{d}y_{j}*v_{j}$$

Allora

$$\phi (v,u)=\phi (\sum _{i=1}^{d}x_{i}*v_{i},\,\sum _{j=1}^{d}y_{j}*v_{j})$$

$$\phi (v,u)=\phi (\sum _{i=1}^{d}x_{i}*v_{i},\,\sum _{j=1}^{d}y_{j}*v_{j})$$

Uso la linearita' sulla prima componente.

$$\phi (v,u)=\sum _{i=1}^{d}x_{i}*\phi (v_{i},\,\sum _{j=1}^{d}y_{j}*v_{j})$$

$$\phi (v,u)=\sum _{i=1}^{d}x_{i}*\phi (v_{i},\,\sum _{j=1}^{d}y_{j}*v_{j})$$

Uso la linearita' di $\phi$$\phi$ sulla seconda componente

$$\phi (v,u)=\sum _{i,j=1}^{d}x_{i}*y_{j}*\phi (v_{i},\,v_{j})$$

$$\phi (v,u)=\sum _{i,j=1}^{d}x_{i}*y_{j}*\phi (v_{i},\,v_{j})$$

Supponiamo $C_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})$$C_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})$, allora

$$\phi (v,u)=\sum _{i,j=1}^{d}x_{i}y_{j}*c_{ij}=X^{T}*C*Y$$

$$\phi (v,u)=\sum _{i,j=1}^{d}x_{i}y_{j}*c_{ij}=X^{T}*C*Y$$

Definizione 15.9

Se $\phi :V\times V\to \mathbb {R}$$\phi :V\times V\to \mathbb {R}$ è un prodotto scalare o piu' in generale una forma bilineare, e se ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{d}\}$${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{d}\}$ è una base di $V$$V$, la matrice di $\phi$$\phi$ rispetto alla base ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ è la matrice $C=M_{\mathcal {B}}(\phi )$$C=M_{\mathcal {B}}(\phi )$ di entrate $c_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})$$c_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})$. In particolare vale la relazione $\phi (u,v)=M_{\mathcal {B}}^{t}CM_{\mathcal {B}}$$\phi (u,v)=M_{\mathcal {B}}^{t}CM_{\mathcal {B}}$, $\forall u,v\in V$$\forall u,v\in V$.

Se $\phi$$\phi$ è un prodotto scalare, allora

$$c_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})=\phi (v_{j},v_{i})=c_{ji},\,\forall i,j=1,\dots ,d$$

$$c_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})=\phi (v_{j},v_{i})=c_{ji},\,\forall i,j=1,\dots ,d$$

quindi anche la matrice $C$$C$ è simmetrica.

 

Viceversa, se $C$$C$ è una matrice simmetrica $d\times d$$d\times d$, tale che $C=C^{t}$$C=C^{t}$, definisco la forma bilineare $\phi$$\phi$ tale che

$$\phi (v,u)=(M_{\mathcal {B}}(v))^{t}*C*M_{\mathcal {B}}(u),\,v,u\in V$$

$$\phi (v,u)=(M_{\mathcal {B}}(v))^{t}*C*M_{\mathcal {B}}(u),\,v,u\in V$$

Poiché $\phi (u,v)^{t}=\phi (v,u)$$\phi (u,v)^{t}=\phi (v,u)$ (è un numero), traspongo il prodotto di matrici e ottengo

$$\phi (v,u)=(M_{\mathcal {B}}(u))^{t}*C^{t}*M_{\mathcal {B}}(v)$$

$$\phi (v,u)=(M_{\mathcal {B}}(u))^{t}*C^{t}*M_{\mathcal {B}}(v)$$

ma $C^{t}=C$$C^{t}=C$, quindi

$$\phi (v,u)=(M_{\mathcal {B}}(u))^{t}*C*M_{\mathcal {B}}(v)=\phi (u,v).$$

$$\phi (v,u)=(M_{\mathcal {B}}(u))^{t}*C*M_{\mathcal {B}}(v)=\phi (u,v).$$

pertanto $\phi$$\phi$ è anche simmetrica.

Spazio nullo

Nelle ipotesi precedenti, lo spazio nullo di $\phi$$\phi$ è

$$\{v\in V\,t.c.\,\phi (v,u)=0\,\forall u\in V\}$$

$$\{v\in V\,t.c.\,\phi (v,u)=0\,\forall u\in V\}$$

$$=\{v\in V\,t.c.\,(M_{\mathcal {B}}(u))^{t}*C*M_{\mathcal {B}}(v)=0\forall u\in V\}$$

$$=\{v\in V\,t.c.\,(M_{\mathcal {B}}(u))^{t}*C*M_{\mathcal {B}}(v)=0\forall u\in V\}$$

$$=\{v\in V\,t.c.\,x^{t}*C*M_{\mathcal {B}}(v)=0\,\forall x\in \mathbb {R} ^{d}\}$$

$$=\{v\in V\,t.c.\,x^{t}*C*M_{\mathcal {B}}(v)=0\,\forall x\in \mathbb {R} ^{d}\}$$

$$=\{v\in V\,t.c.\,x\cdot C*M_{\mathcal {B}}(v)=0\forall x\in \mathbb {R} ^{d}\}$$

$$=\{v\in V\,t.c.\,x\cdot C*M_{\mathcal {B}}(v)=0\forall x\in \mathbb {R} ^{d}\}$$

Questo vuol dire che siccome il prodotto scalare standard è non degenere, allora la condizione è soddisfatta quando $CM_{\mathcal {B}}(v)=0$$CM_{\mathcal {B}}(v)=0$. Quindi $v$$v$ appartiene allo spazio nullo se e solo se $M_{\mathcal {B}}(v)\in \ker C$$M_{\mathcal {B}}(v)\in \ker C$, cioè lo spazio nullo è la controimmagine del nucleo di $C$$C$ mediante $M_{\mathcal {B}}(v)$$M_{\mathcal {B}}(v)$.

Ricavo che la dimensione dello spazio nullo è uguale alla dimensione del nucleo di $C$$C$, perchè $M_{\mathcal {B}}(v)$$M_{\mathcal {B}}(v)$ è un isomorfismo.

Riassumendo,

Proposizione 15.1

Sia $V$$V$ uno spazio vettoriale d-finitodimensionale. Sia ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ una base di $V$$V$ e sia $\phi :V\times V\to \mathbb {R}$$\phi :V\times V\to \mathbb {R}$ un prodotto scalare. Diciamo $C$$C$ la matrice del prodotto scalare nella base data. Allora lo spazio nullo di $\phi$$\phi$ è la controimmagine mediante $M_{\mathcal {B}}$$M_{\mathcal {B}}$ del nucleo di $C$$C$.

In particolare, la dimensione di tale spazio nullo è uguale alla dimensione del nucleo di $C$$C$, quindi si ricava il seguente corollario.

 

Corollario 15.1

$\phi$$\phi$ è non degenere se e solo se lo spazio nullo è ridotto al solo 0, quindi se e solo se $C$$C$ è una matrice invertibile ovvero il nucleo di $C$$C$ è 0.

 

Esempio 15.13

Sia ${\mathcal {B}}=\{(1,1),\,(1,2)\}$${\mathcal {B}}=\{(1,1),\,(1,2)\}$ la base di $\mathbb {R} ^{2}$$\mathbb {R} ^{2}$ e sia $\phi$$\phi$ il prodotto scalare standard.

La matrice del prodotto scalare standard in questa base si ottiene facendo il prodotto scalare tra tutte le combinazioni possibili di vettori. In particolare

$$a_{11}=v_{1}\cdot v_{1}=(1,1)\cdot (1,1)=2$$

$$a_{11}=v_{1}\cdot v_{1}=(1,1)\cdot (1,1)=2$$

$$a_{12}=a_{21}=v_{1}\cdot v_{2}=(1,1)\cdot (1,2)=3$$

$$a_{12}=a_{21}=v_{1}\cdot v_{2}=(1,1)\cdot (1,2)=3$$

$$a_{22}=v_{2}\cdot v_{2}=(1,2)\cdot (1,2)=5$$

$$a_{22}=v_{2}\cdot v_{2}=(1,2)\cdot (1,2)=5$$

quindi

$$C={\begin{array}{cc}2&3\\3&5\end{array}}$$

$$C={\begin{array}{cc}2&3\\3&5\end{array}}$$

 

Esempio 15.14

Prendiamo $V=\mathbb {R} ^{3}[x]$$V=\mathbb {R} ^{3}[x]$ spazio dei polinomi di grado $\leq 3$$\leq 3$, e sia

$$\phi (p,q)=\int _{-1}^{1}p(t)*q(t)\,dt$$

$$\phi (p,q)=\int _{-1}^{1}p(t)*q(t)\,dt$$

$\phi$$\phi$ è un prodotto scalare definito positivo, infatti $p(t)*p(t)$$p(t)*p(t)$ può essere uguale a 0 se e solo se $p(t)=0\forall t$$p(t)=0\forall t$, e questo non è possibile perché un polinomio di grado $\leq 3$$\leq 3$ non nullo ha al più tre radici.

Prendo la base $\{1,x,x^{2},x^{3}\}$$\{1,x,x^{2},x^{3}\}$ e calcolo la matrice di questo prodotto nella base: si sfrutterà più volte il fatto che l'integrale di una funzione dispari su un dominio simmetrico è sempre nullo.

$$a_{11}=\int _{-1}^{1}1\,dt=2$$

$$a_{11}=\int _{-1}^{1}1\,dt=2$$

$$a_{12}=a_{21}=\int _{-1}^{1}t\,dt=0$$

$$a_{12}=a_{21}=\int _{-1}^{1}t\,dt=0$$

$$a_{22}=\int _{-1}^{1}t^{2}\,dt=2*\int _{0}^{1}t^{2}dt=[t^{3}/3]_{0}^{1}=2/3$$

$$a_{22}=\int _{-1}^{1}t^{2}\,dt=2*\int _{0}^{1}t^{2}dt=[t^{3}/3]_{0}^{1}=2/3$$

$$a_{13}=a_{31}=\int _{-1}^{1}1*t^{2}dt=2/3$$

$$a_{13}=a_{31}=\int _{-1}^{1}1*t^{2}dt=2/3$$

$$a_{23}=a_{32}=\int _{-1}^{1}t*t^{2}dt=0$$

$$a_{23}=a_{32}=\int _{-1}^{1}t*t^{2}dt=0$$

$$a_{33}=\int _{-1}^{1}t^{4}dt=2*\int _{0}^{1}t^{4}dt=[2/5*t^{5}]_{0}^{1}=2/5$$

$$a_{33}=\int _{-1}^{1}t^{4}dt=2*\int _{0}^{1}t^{4}dt=[2/5*t^{5}]_{0}^{1}=2/5$$

$$a_{14}=a_{41}=\int _{-1}^{1}1*t^{3}dt=0$$

$$a_{14}=a_{41}=\int _{-1}^{1}1*t^{3}dt=0$$

$$a_{24}=a_{42}=\int _{-1}^{1}t*t^{3}dt=\int _{-1}^{1}t^{4}dt=2/5$$

$$a_{24}=a_{42}=\int _{-1}^{1}t*t^{3}dt=\int _{-1}^{1}t^{4}dt=2/5$$

$$a_{34}=a_{43}=\int _{-1}^{1}t^{5}dt=0$$

$$a_{34}=a_{43}=\int _{-1}^{1}t^{5}dt=0$$

$$a_{44}=\int _{-1}^{1}t^{6}dt=[2/7*t^{7}]_{0}^{1}=2/7$$

$$a_{44}=\int _{-1}^{1}t^{6}dt=[2/7*t^{7}]_{0}^{1}=2/7$$

La matrice che ottengo è

$$C={\begin{array}{cccc}2&0&2/3&0\\0&2/3&0&2/5\\2/3&0&2/5&0\\0&2/5&0&2/7\end{array}}$$

$$C={\begin{array}{cccc}2&0&2/3&0\\0&2/3&0&2/5\\2/3&0&2/5&0\\0&2/5&0&2/7\end{array}}$$

Tutte le entrate diagonali sono positive, infatti il prodotto è positivo.

 

Osservazione 15.2

Nelle ipotesi precedenti, $V$$V$ spazio vettoriale, $\phi$$\phi$ prodotto scalare, $\phi$$\phi$ è definito positivo se e solo se $\phi (v,v)\geq 0$$\phi (v,v)\geq 0$ per ogni $v\neq 0$$v\neq 0$, e quindi se e solo se $(M_{\mathcal {B}}(v))^{t}*\phi *M_{\mathcal {B}}(v)\geq 0$$(M_{\mathcal {B}}(v))^{t}*\phi *M_{\mathcal {B}}(v)\geq 0$ con $v\neq 0$$v\neq 0$, e quindi se e solo se $x^{t}*C*x\geq 0,\forall x\in \mathbb {R} ^{d},\,x\neq 0_{\mathbb {R} ^{d}}$$x^{t}*C*x\geq 0,\forall x\in \mathbb {R} ^{d},\,x\neq 0_{\mathbb {R} ^{d}}$. La condizione è soddisfatta se $C$$C$ è invertibile e soddisfa il criterio dei minori incapsulati.