Definizione ed esempi di prodotti scalari

Forme bilineari[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 15.1

Sia uno spazio vettoriale. Una forma bilineare su è un'applicazione che è lineare separatamente su qualsiasi componente. In altre parole, è tale che per ogni e , si ha

 
Definizione 15.2

Una forma bilineare si dice simmetrica se per ogni .

 
Esempio 15.1

L'applicazione

è bilineare e non simmetrica. Il prodotto scalare standard è bilineare e simmetrico.

 
Definizione 15.3

Un prodotto scalare su è una forma bilineare, simmetrica su . (non esiste solo il prodotto scalare standard, ma anche altri tipi di prodotti scalari)

 

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 15.2

Sia , con

è bilineare perchè è omogenea di grado 1 in ogni componente.

Osservo che se considero ricaviamo che

 
Esempio 15.3

Sia tale che . è bilineare e simmetrica. Inoltre, osservo che se , .

 

Prodotto scalare non degenere[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 15.4
Un prodotto scalare si dice non degenere se per ogni con esiste un tale che .
 
Esempio 15.4

l prodotto scalare standard tale che è non degenere, perchè ed è diverso da 0 per ogni .

 

Il prodotto dell'esempio 1 è degenere perché il prodotto scalare tra un generico e il vettore è sempre nullo.

Successivo