Definizione 15.7
Sia
uno spazio vettoriale su
. Sia
un sottospazio vettoriale, sia
un prodotto scalare. Il complemento ortogonale di
rispetto a
(dipende da
e da
) è l'insieme dei vettori di
che hanno prodotto scalare nullo con qualsiasi vettore di
, ovvero

Esempio 15.11
Sia
il prodotto scalare alla matrice

Considero

.
Determinare il complemento ortogonale dello span rispetto a 

quindi sicuramente

e

appartengono al complemento ortogonale dello

di

.
Ottengo che il complemento ortoonale dello span di
contiene lo span di
, ovvero
.
Notiamo che il prodotto scalare considerato è non degenere.
se e solo se
, quindi se e solo se
, quindi se e solo se
appartiene allo span di
(infatti
è l'unica entrata uguale a 0 che coinvolge
).
In generale, anche se il prodotto scalare
è non degenere, può avvenire che per qualche sottospazio vettoriale
,
. Vedremo che questo avviene solo quando il prodotto scalare è definito positivo.
Definizione 15.8
Sia
uno spazio vettoriale reale e sia
un prodotto scalare.
si dice definito positivo se per ogni
con
, si ha che
è un numero positivo.
Ad esempio, il prodotto scalare standard su
è definito positivo.
Un altro esempio di prodotto scalare definito positivo è il seguente.
Esempio 15.12
Sia
lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale di
nell'indeterminata
.
Definiamo
tale che

Si può dimostrare che

è un prodotto scalare usando le usuali proprietà degli integrali.
Se
, ottengo
Se calcolo
ottengo

Allora

è necessariamente positivo.
Se
è definito positivo, allora
è non degenere.
Infatti, se prendo
nello spazio nullo, si ha
per ogni
e quindi anche per
, ma siccome per ipotesi il prodotto scalare è definito positivo, allora
è il vettore nullo, di conseguenza
è non degenere perché il suo spazio nullo si riduce al solo zero.
Non vale viceversa, infatti presa la matrice

il prodotto ad essa associato è non degenere, ma non è definito positivo.