Complemento ortogonale

Definizione 15.7

Sia $V$$V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$. Sia $W\in V$$W\in V$ un sottospazio vettoriale, sia $\phi :V\times V\to \mathbb {R}$$\phi :V\times V\to \mathbb {R}$ un prodotto scalare. Il complemento ortogonale di $W$$W$ rispetto a $\phi$$\phi$ (dipende da $W$$W$ e da $\phi$$\phi$) è l'insieme dei vettori di $V$$V$ che hanno prodotto scalare nullo con qualsiasi vettore di $W$$W$, ovvero

$$W^{\perp }=\{v\in V\,t.c.\phi (v,w)=0\forall w\in W\}$$

$$W^{\perp }=\{v\in V\,t.c.\phi (v,w)=0\forall w\in W\}$$

 

Esempio 15.11

Sia $\phi :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$$\phi :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ il prodotto scalare alla matrice

$$C={\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}$$

$$C={\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}$$

Considero $W={\rm {{span}\{e_{1}\}}}$$W={\rm {{span}\{e_{1}\}}}$.

Determinare il complemento ortogonale dello span rispetto a $\phi$$\phi$

$$\phi (e_{1},e_{1})=c_{11}=0$$

$$\phi (e_{1},e_{1})=c_{11}=0$$

quindi sicuramente $e_{1}$$e_{1}$ e $\lambda *e_{1}$$\lambda *e_{1}$ appartengono al complemento ortogonale dello ${\rm {span}}$${\rm {span}}$ di $e_{1}$$e_{1}$.

Ottengo che il complemento ortoonale dello span di $e_{1}$$e_{1}$ contiene lo span di $e_{1}$$e_{1}$, ovvero ${\rm {{span}\{e_{1}\}\subseteq ({\rm {{span}\{e_{1}\})^{\perp }}}}}$${\rm {{span}\{e_{1}\}\subseteq ({\rm {{span}\{e_{1}\})^{\perp }}}}}$.

Notiamo che il prodotto scalare considerato è non degenere. $(x,y)\in ({\rm {{span}\{e_{1}\})^{\perp }}}$$(x,y)\in ({\rm {{span}\{e_{1}\})^{\perp }}}$ se e solo se $\phi ((x,y),e_{1})=0$$\phi ((x,y),e_{1})=0$, quindi se e solo se $(x,y)^{T}*C*e_{1}=0$$(x,y)^{T}*C*e_{1}=0$, quindi se e solo se $(x,y)$$(x,y)$ appartiene allo span di $e_{1}$$e_{1}$ (infatti $c_{11}$$c_{11}$ è l'unica entrata uguale a 0 che coinvolge $e_{1}$$e_{1}$).

 

In generale, anche se il prodotto scalare $\phi :V\times V\to \mathbb {R}$$\phi :V\times V\to \mathbb {R}$ è non degenere, può avvenire che per qualche sottospazio vettoriale $W$$W$, $W\cap W^{\perp }\neq 0$$W\cap W^{\perp }\neq 0$. Vedremo che questo avviene solo quando il prodotto scalare è definito positivo.

Prodotto scalare definito positivo

Definizione 15.8

Sia $V$$V$ uno spazio vettoriale reale e sia $\phi :V\times V\to \mathbb {R}$$\phi :V\times V\to \mathbb {R}$ un prodotto scalare. $\phi$$\phi$ si dice definito positivo se per ogni $v\in V$$v \in V$ con $v\neq 0$$v\neq 0$, si ha che $\phi (v,v)$$\phi (v,v)$ è un numero positivo.

 

Ad esempio, il prodotto scalare standard su $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ è definito positivo.

Un altro esempio di prodotto scalare definito positivo è il seguente.

Esempio 15.12

Sia $V$$V$ lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale di $d$$d$ nell'indeterminata $x$$x$.

Definiamo $\phi :\mathbb {R} ^{d}[x]\times \mathbb {R} ^{d}[x]\to \mathbb {R}$$\phi :\mathbb {R} ^{d}[x]\times \mathbb {R} ^{d}[x]\to \mathbb {R}$ tale che

$$\phi (p(x),q(x))=\int _{0}^{1}p(x)q8x)\quad dx$$

$$\phi (p(x),q(x))=\int _{0}^{1}p(x)q8x)\quad dx$$

Si può dimostrare che $\phi$$\phi$ è un prodotto scalare usando le usuali proprietà degli integrali.

Se $p(x)=p_{1}(x)+p_{2}(x)$$p(x)=p_{1}(x)+p_{2}(x)$, ottengo

Se calcolo $\phi (p(x),p(x))$$\phi (p(x),p(x))$ ottengo

$$\int _{0}^{1}(p(x))^{2}\quad dx\geq 0\forall p(x)\neq 0$$

$$\int _{0}^{1}(p(x))^{2}\quad dx\geq 0\forall p(x)\neq 0$$

Allora $\phi$$\phi$ è necessariamente positivo.

 

relazione tra prodotti degeneri e positivi

Osservazione 15.1

Se $\phi :V\times V\to \mathbb {R}$$\phi :V\times V\to \mathbb {R}$ è definito positivo, allora $\phi$$\phi$ è non degenere.

Infatti, se prendo $v$$v$ nello spazio nullo, si ha $\phi (v,v')=0$$\phi (v,v')=0$ per ogni $v'\in V$$v'\in V$ e quindi anche per $v'=v$$v'=v$, ma siccome per ipotesi il prodotto scalare è definito positivo, allora $v$$v$ è il vettore nullo, di conseguenza $\phi$$\phi$ è non degenere perché il suo spazio nullo si riduce al solo zero.

 

Non vale viceversa, infatti presa la matrice

$${\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}$$

$${\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}$$

il prodotto ad essa associato è non degenere, ma non è definito positivo.