Complemento ortogonale

Definizione 15.7

Sia uno spazio vettoriale su . Sia un sottospazio vettoriale, sia un prodotto scalare. Il complemento ortogonale di rispetto a (dipende da e da ) è l'insieme dei vettori di che hanno prodotto scalare nullo con qualsiasi vettore di , ovvero

 
Esempio 15.11

Sia il prodotto scalare alla matrice

Considero .

Determinare il complemento ortogonale dello span rispetto a

quindi sicuramente e appartengono al complemento ortogonale dello di .

Ottengo che il complemento ortoonale dello span di contiene lo span di , ovvero .

Notiamo che il prodotto scalare considerato è non degenere. se e solo se , quindi se e solo se , quindi se e solo se appartiene allo span di (infatti è l'unica entrata uguale a 0 che coinvolge ).

 

In generale, anche se il prodotto scalare è non degenere, può avvenire che per qualche sottospazio vettoriale , . Vedremo che questo avviene solo quando il prodotto scalare è definito positivo.

Prodotto scalare definito positivo[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 15.8

Sia uno spazio vettoriale reale e sia un prodotto scalare. si dice definito positivo se per ogni con , si ha che è un numero positivo.

 

Ad esempio, il prodotto scalare standard su è definito positivo.

Un altro esempio di prodotto scalare definito positivo è il seguente.

Esempio 15.12

Sia lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale di nell'indeterminata .

Definiamo tale che

Si può dimostrare che è un prodotto scalare usando le usuali proprietà degli integrali.

Se , ottengo

Se calcolo ottengo

Allora è necessariamente positivo.

 

relazione tra prodotti degeneri e positivi[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 15.1

Se è definito positivo, allora è non degenere.

Infatti, se prendo nello spazio nullo, si ha per ogni e quindi anche per , ma siccome per ipotesi il prodotto scalare è definito positivo, allora è il vettore nullo, di conseguenza è non degenere perché il suo spazio nullo si riduce al solo zero.

 

Non vale viceversa, infatti presa la matrice

il prodotto ad essa associato è non degenere, ma non è definito positivo.

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