Distanza retta - retta

Per fissare le idee siano due rette che suppongo non parallele. Questo significa che se e , allora e sono linearmente indipendenti.



Lemma 4.1

Esiste ed e' unica una coppia di punti tali che e' perpendicolare a e . ossia .

 


Dimostrazione 4.7

Definisco generico punto di al variare di , e generico punto di , al variare di . Impongo la condizione che sia perpendicolare a per . So che

Se impongo le due condizioni di perpendicolarità ottengo:

La condizione per equivale al sistema lineare delle due equazioni:
scrivendo in forma vettoriale ottengo (i vettori in realtà sono vettori colonna):

La soluzione esiste ed e' unica. Considero la coppia di vettori:

I vettori sono linearmente indipendenti se vale .

Il prodotto dei quadrati delle norme e' maggiore dei prodotti scalari quindi l'espressione per Cauchy - Schwarz e' positiva. e sono supposti linearmente indipendenti, quindi non vale l'ugualenella relazione e la condizione di lineare indipendenza di e è soddisfatta. Allora e costituiscono una base in , quindi la soluzione del sistema è unica, ed esistono e sono unici i punti e cercati.


cvd

 
Teorema 4.3

Siano tali che è perpendicolare a e è perpendicolare a . Allora per ogni e in , si ha che

e vale l'uguale se e solo se e .

 


Dimostrazione 4.8

Prendo come punto di passaggio per e come punto di passaggio per . Allora posso scrivere che al variare di e .


Quindi è il generico punto di , e è il generico punto di .


Calcolo la distanza al quadrato fra i due generici punti.

Evidenzio la perpendicolarità e uso Pitagora:

per costruzione e' perpendicolare a e , e quindi a , allora siccome i due vettori sono perpendicolari, il quadrato della norma della somma è la somma del quadrato delle norme:

e questa quantità e' maggiore o uguale della norma quadra di e vale l'uguale se e solo se . Siccome le due rette sono non parallele e e sono non paralleli, allora la condizione è verificata solo se , cioè solo se e quindi se e .


Quindi i due punti sono gli unici che minimizzano la distanza delle due coppie di punti sulla retta.


cvd

 
Definizione 4.4

Se e sono rette non parallele, e se e' l'unica coppia di punti tali che e' perpendicolare a entrambe le rette, allora definiamo distanza di da come . La distanza di da e' , al variare di e , e l'inf è uguale a con e definiti come prima.

 
Osservazione 4.5

Supponiamo che e siano parallele. Allora per ogni coppia in la distanza di da e' uguale alla distanza di da . Equivalentemente, per ogni coppia di la distanza di da q e' uguale alla distanza di da .

 
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