Distanza punto - piano

Sia un piano tale che , ove sono fissati in e sono linearmente indipendenti.


Posso dare un'equazione cartesiana del piano: se , allora

ove sono le componenti del prodotto vettore .

Cerco la distanza dal piano al punto .


La retta passante per e con vettore direzione perpendicolare al piano è

allora interseca in un unico punto.


Se allora definisco

dove .

La retta e il piano sono perpendicolari, quindi il prodotto scalare tra il vettore direzione della retta e il piano devono essere uguali a 0.

Per cercare il punto di intersezione tra retta e piano impongo che e questo avviene se e solo se ma , quindi impongo

e dividendo per ottengo l'unica soluzione:

Quindi l'unico punto di intersezione tra la retta e il piano è .

Si dimostra che data la retta perpendicolare al piano e passante per , il punto di intersezione tra retta e piano e' l'unico punto del piano che minimizza la distanza di da . Preso un qualsiasi altro punto la distanza del piano da sara' strettamente maggiore.

Osservazione 4.4

Sia , e sia un punto di , siano e linearmente indipendenti (). Dato un punto di , sia la retta con punto di passaggio e vettore direzione con perpendicolare ad e e diverso da 0, allora consiste di un unico punto. Mostro e' l'unico punto che minimizza la distanza di da .

 
Dimostrazione 4.6

Uso come punto di passaggio per . Allora

Allora il generico punto del piano è . allora

Ho scelto come unico vettore tale che e' perpendicolare ad e , allora

allora . La norma quadra della somma e' la somma delle norme quadre, perche' i vettori sono perpendicolari.

Vale l'uguale () se e solo se la norma quadra di è nulla, quindi se e solo se e' il vettore nullo. Ma questa combinazione lineare e' 0 se e solo se , quindi se e solo se .


cvd

 
Esempio 4.3

Preso , trovare la distanza di da .

  1. verifico se il punto appartiene al piano sostituendo le sue coordinate nell'equazione che definisce :Ottengo . Il punto non appartiene al piano
  2. se il punto non appartiene, considero la retta con punto di passaggio e vettore direzione dove sono i coefficienti che compaiono nell'equazione del piano, e tutti i punti del piano sono quindi perpendicolari ad .In questo caso e .Quindi il generico punto della retta è
  3. Cerco il punto di intersezione tra la retta e il piano.La reta interseca il piano se e solo se , quindi se e solo se il generico punto della retta soddisfa l'equazione del piano.Nell'equazione del piano, sostituisco con le coordinate del generico punto della retta.
  4. Il punto di intersezione si ottiene sostituendo il valore di trovato nella retta.
  5. calcolo la distanza tra e .
 
 PrecedenteSuccessivo