condizioni necessarie per la similitudine

Rango uguale[modifica | modifica wikitesto]

Se e sono matrici simili, allora rappresentano la stessa , quindi hanno lo stesso rango: , dove ad esempio . Infatti sia che rappresentano rispetto a basi opportune. Quindi per esempio sicuramente la matrice

e la matrice

non sono simili, perchè mentre .

Matrici diverse dall'identità[modifica | modifica wikitesto]

Pur avendo lo stesso rango, le matrici

non sono simili.

Infatti è un multiplo dell'identità, e, in generale se considero una matrice invertibile che chiamo e faccio il prodotto , ottengo . Una matrice multiplo dell'identità è simile solo a se stessa.

Traccia uguale[modifica | modifica wikitesto]

Ciononostante, pur avendo lo stesso rango e non essendo multipli dell'identità, le matrici

non sono simili.
Definizione 12.2

Sia una matrice . La traccia di è il numero reale () dato dalla somma delle entrate diagonali della matrice, cioè, .

 

Per esempio, la traccia della matrice identica è sempre uguale a .

Date queste matrici:
Vale il seguente lemma:
Proposizione 12.1

Siano e matrici quadrate . Allora i prodotti e sono ancora matrici , e .

 
Dimostrazione 12.4

Conto esplicito:

Inoltre
Sostituisco nell'espressione della traccia:
Inverto le sommatorie:
Questa è la traccia di .
cvd

 
Corollario 12.1

Se e sono matrici simili, allora la traccia di è uguale alla traccia di .

 


Dimostrazione 12.5

Sia matrice invertibile tale che . Allora (proprietà associativa)

Uso la proprietà dimostrata

cvd

 

Nota: Il prodotto di matrici NON è commutativo, ma siccome ho dimostrato che e hanno hanno la stessa traccia posso fare queste operazioni.

Le due matrici dell'esempio non sono simili, perchè non hanno la stessa traccia.

Il corollario permette di dire quando due matrici non sono simili, ma non vale il viceversa.

Determinante uguale[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo il caso

il rango è uguale, la traccia è uguale, ma le matrici non sono simili. Infatti il determinante è diverso, e matrici simili hanno necessariamente lo stesso determinante.

Avere lo stesso determinante è condizione necessaria, ma non sufficiente, per la similitudine.

conclusione[modifica | modifica wikitesto]

In realtà, se si considerano due matrici

entrambe hanno rango 2, traccia 2, determinante 1, ma non sono simili, perchè la matrice identica è simile solo a se stessa.

Per capire quando due matrici sono simili serve solo la formula canonica di Jordan.

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