composizione e prodotti di matrici

Teorema C=BA[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di avere e spazi vettoriali finitodimensionali di dimensioni , , , non nulle.

Siano una base di , sia una base di e una base di .

Supponiamo di avere applicazioni lineari e . Allora la composizione è anch'essa lineare.

Chiamo la matrice associata a . è una matrice .

Chiamo la matrice associata a , che è una matrice . Analogamente posso chiamare la matrice della composizione che è una matrice (anche il prodotto è di dimensione )

Conto esplicito:

La matrice ha entrate , per . Le entrate sono univocamente determinate dalla proprietà che la colonna rappresenta la colonna delle coordinate di nella base dei .

Condizione: Analogamente, le entrate di con , matrice sono univocamente determinate dalla condizione:

è la colonna delle coordinate di nella base degli . Ho usato la definizione di matrice di applicazione lineare rispetto alle basi.

Allo stesso modo le entrate con e matrice sono univocamente determinate dalla condizione che la j-esima colonna della matrice , è la colonna delle coordinate di nella base dei .

Uso la linearità:
quindi applicando a ottengo
e per linearità
(ho sostituito a la sua espressione)
il prodotto è associativo, quindi
Uso la distributività del prodotto scalare per vettore rispetto alla somma.

è l'entrata del prodotto . L'entrata kj di è univocamente determinata. Quindi concludo che

quindi è il prodotto .

Teorema 11.4

Siano , , spazi vettoriali finitodimensionali non banali. Siano e applicazioni lineari. Allora per ogni scelta di basi e di , , rispettivamente, si ha che la matrice associata all'applicazione è uguale alla matrice del prodotto intermedio . (da base di partenza a base intermedia * base intermedia a base di arrivo)

 


Osservazione 11.2

Nel caso particolare in cui Se allora sappiamo che è la matrice di che ha base in partenza e in arrivo ( e sono le basi canoniche).

Analogamente la matrice ha come base di partenza e base d'arrivo .

Troviamo che l'applicazione dalla base alla base , che chiamo è associata alla matrice .

 

Relazione tra due basi diverse di uno spazio[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di avere uno spazio vettoriale .

Siano e basi di spazio vettoriale -dimensionale, Consideriamo un vettore . Allora si può esprimere sia nella base che nella base , e quindi si ha: e .

Ci si chiede che relazione c'è tra le due colonne delle coordinate nelle due basi diverse.

Consideriamo l'applicazione identità che porta in se stesso. Per quanto visto, la colonna delle coordinate nella base di è la colonna delle coordinate nella base dell'identità di applicata a .

Per il teorema dimostrato precedentemente, la colonna delle coordinate dell'identità nella base è la matrice dalla base a dell'identità per la colonna delle coordinate di nella vecchia base.
Esempio 11.5

Supponiamo sia la base di e la base canonica di . Allora la colonna delle coordinate nella nuova base di un vettore è data dal prodotto tra la matrice da a dell'identità per la colonna delle coordinate nella base di , quindi siccome è la base canonica le coordinate del vettore rispetto a tale base sono .

Invece per trovare la matrice da a dell'identità, applico l'identità ai vettori di . Devo trovare l'inversa della matrice.

 
Corollario 11.1

Sia uno spazio vettoriale -dimensionale, con finito e maggiore o uguale di 1. Siano e basi di . Allora la matrice dell'identità di da a è uguale alla matrice da a inversa.

 


Dimostrazione 11.1

Consideriamo l'identità composta con se stessa.

Quando compongo l'identità con se stessa, pur considerando basi diverse, ottengo ancora l'identità Prendo la base , nel passo intermedio prendo la base , nell'ultimo passo prendo la base .

Per il teorema dimostrato precedentemente ricaviamo che la matrice identica è uguale alla matrice con base in arrivo e in partenza. Questa è una composizione, quindi diventa la matrice da a dell'identità per la matrice da a dell'identità.

La matrice da a è invertibile a destra e a sinistra, quindi è l'inversa bilatera.

cvd

 


Esempio 11.6

Completando l'esempio precedente scrivo la matrice che ha per colonne i vettori di (è la matrice dell'identità da alla base canonica) e ne calcolo l'inversa.

L'inversa è
Ora per trovare le coordinate del vettore rispetto a moltiplico a sinisstra per la matrice trovata.

Verifica: faccio la combinazione lineare dei vettori della base con le coordinate trovate.

Separo le componenti
Ottengo l'identità quindi significa che il risultato è giusto.

 
Osservazione 11.3

Nelle ipotesi precedenti per ogni in la colonna delle coordinate di nella base in è la matrice dalla base a dell'identità per la colonna delle coordinate nella base . Inoltre la matrice dell'identità dalla base a è uguale alla matrice inversa dalla base a .

 
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