Applicazioni tra due spazi vettoriali con basi diverse

Caso generale[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di avere e spazi vettoriali finitodimensionali e sia lineare. Allora se ho una base di e una base di , la matrice con base di partenza e di arrivo di e' la matrice se e .


Questa matrice dipende dalla scelta delle basi.


Supponiamo di avere una base di e di . Se lavoriamo rispetto alle due basi avremo analogamente una matrice dalla base alla base di , che e' una base .


Ci chiediamo che relazione esiste fra queste due matrici.


puo' essere composta a sinistra con l'identita' di e a destra con l'identita' di e non cambia nulla. Alla composizione

corrisponde il passaggio tra le basi
Possiamo scrivere che la matrice dalla base alla base di e' uguale a:
La prima matrice ha dimensione , la seconda e la terza .


Vale quindi il seguente

Teorema 11.5

Siano e spazi vettoriali finitodimensionali. Sia lineare. Siano basi di , e e basi di . Allora la matrice si ottiene facendo il prodotto

 

Caso particolare endomorfismo[modifica | modifica wikitesto]

Caso particolare: Consideriamo il caso in cui finitodimensionale.

Allora e' un endomorfismo lineare (applicazione lineare di uno spazio in se' stesso). Supponiamo di avere due basi di e . Vogliamo confrontare le matrici di da a (stessa base in partenza e in arrivo) e la matrice di dalla base a .


Applichiamo il teorema valido nel caso generale. Ricaviamo che la matrice dalla base alla base di e' la matrice

Questo equivale a



Corollario 11.2

Sia uno spazio vettoriale finitodimensionale. Siano e basi di . Allora per ogni endomorfismo lineare di in se' stesso si ha che

 


Esempio 11.7

Si consideri l'applicazione con

textit.


Applicando il teorema la matrice da a di e' la matrice:

La seconda matrice e' la matrice data. La terza matrice e' quella che ha per colonne i vettori della base . La prima matrice e' l'inversa della terza.


Calcoliamo l'inversa della matrice .

Faccio il prodotto della matrice inversa per la matrice di partenza.

Verifica: Applico al primo vettore nella nuova base, cioe' (ho scritto il vettore come somma di due vettori della base canonica).

Sommo le due colonne della matrice .
Queste sono le coordinate del trasformato del primo vettore nella nuova base.


Considero la matrice che ho trovato e scrivo la combinazione lineare dei vettori della base con le coordinate del primo vettore, che corrispondono alla prima colonna della matrice trovata. Se l'esercizio e' giusto devo ottenere le coordinate del trasformato nella base , ovvero .

Faccio lo stesso procedimento con il secondo vettore.

 
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