basi ordinate in R 3

Vettori linearmente dipendenti[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 3.6

Siano vettori in . Diremo che sono linearmente indipendenti se nessuno di essi e' combinazione lineare dei restanti, quindi se non esistono e numeri reali tali che , o o .

 
Osservazione 3.6

Equivalentemente, se sono numeri reali tali che la combinazione lineare , allora se i vettori sono linearmente indipendenti, sono necessariamente nulli.

 


Dimostrazione 3.5

: se vale la definizione di lineare dipendenza, e quindi se ad esempio , si ha

e quindi si pone .


: Viceversa, se sono tali che e' il vettore nullo e per esempio , allora

cioè e' combinazione lineare degli altri due.


cvd

 
Proposizione 3.3

Siano . Allora sono linearmente indipendenti se e solo se valgono le seguenti condizioni:

  1. non e' multiplo scalare di , ( e sono linearmente indipendenti)
  2. non e' combinazione lineare di e .
 
Corollario 3.2

sono linearmente indipendenti se e solo se e ( non e' multiplo scalare di ) e ( non e' combinazione lineare degli altri due).

 

Definizione di base[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 3.7

Una base di e' una terna ordinata , di vettori linearmente indipendenti.

 


L'ordine è cruciale, e e sono basi diverse.



Osservazione 3.7

e' una base se e solo se .

 
Teorema 3.1

Sia una base di . Allora per ogni vettore , esistono e sono unici scalari in tali per cui il vettore e' uguale alla combinazione lineare .

 


Dimostrazione 3.6

Gli scalari cercati sono

Il denominatore e' diverso da 0 per ipotesi.


Si verifica immediatamente che .


Devo dimostrare anche l'unicita' Se sono altri scalari tali che , eguagliando le due espressioni di si ha:

e in questa combinazione lineare i coefficienti devono essere uguali a 0 perche' i vettori sono linearmente indipendenti.


quindi , e .


cvd

 

La base canonica[modifica | modifica wikitesto]

Ad esempio, sia la terna di vettori . Essa e' chiamata base standard o canonica di .


Per ogni vettore , allora

Definizione 3.8

Sia una base di . Se , siano in gli unici scalari tali che Allora il vettore colonna in si chiama il vettore delle coordinate di nella base e si denota con .

 



Ad esempio, nel caso della base canonica, per ogni , .


Se , si ha:

La colonna delle coordinate e' .

esempi[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 3.5

Siano scalari diversi da 0. Considero

Questa e' una base, perche' e' la combinazione lineare ed e' uguale a 0 se e solo se sono nulli .


Vogliamo determinare il vettore tale che

Allora pongo .


Per trovare i coefficienti posso anche applicare le formule viste prima, ad esempio:

Quindi
Analogamente
Invece
La regola e' un criterio numerico utile ma non e' sempre il piu' efficiente.
 
Esempio 3.6

Dato l'insieme

Verificare se questa e' una base e nel caso trovare il vettore colonna delle coordinate di al variare di .


e' una base se e solo se l'equazione in

ha come unica soluzione .

In quest'ultimo caso, e' l'unica soluzione dell'equazione sopra. Considerando singolarmente le componenti della combinazione lineare, e ponendole uguali a 0, si ha il sistema:

Sottraggo membro a membro

Quindi
 
 PrecedenteSuccessivo