Piani in R 3

Prodotto scalare standard[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 3.3

Il prodotto scalare standard su e' la funzione che prende una coppia ordinata di vettori con e e la porta in

Si indica con .
 


Esempio 3.4

In , . In , .

 
Osservazione 3.4

Per ogni e in , , cioè il prodotto scalare e' una funzione simmetrica.

 
Proposizione 3.1

Se prendo vettori arbitrari e e scalari arbitrari, allora

(bilinearità)
 


Dimostrazione 3.2

Supponiamo , , . Allora

allora
Raccolgo e :
cvd
 


Osservazione 3.5

Per ogni scelta di vettori e in , segue che

 


Dimostrazione 3.3

allora

Gli addendi opposti si eliminano e rimane 0.


cvd

 

Piano in R 3[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 3.4

Supponiamo di avere due vettori e in . Diremo che in e' una combinazione lineare di e se esistono scalari e numeri reali t.c. .

 
Definizione 3.5

Sia e siano e in linearmente indipendenti, quindi tali che . Allora il piano (affine) passante per e con vettori direzione e e' il luogo di tutti i punti della forma: al variare di e numeri reali.


Se consideriamo l'applicazione che porta e nel punto , il piano e' l'immagine . si dice una parametrizzazione di .


La parametrizzazione determina il piano, ma a un piano corrispondono varie parametrizzazioni.

 

Osservazione sulla combinazione lineare[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 3.2

Siano e in linearmente indipendenti (il prodotto vettore e' diverso da 0). Allora e' combinazione lineare di e se e solo se .

 


Dimostrazione 3.4

: Se il vettore e' una combinazione lineare di e per certi e , con e vettori linearmente indipendenti in , allora segue che

per dimostrazione precedente.


: Supponiamo viceversa che

allora dev'essere

Almeno una delle tre componenti di dev'essere diversa da 0 perché i vettori sono linearmente indipendenti. Supponiamo che la seconda componente sia non nulla, allora posso dividere l'ultima equazione per :

isolo e
Chiamo il coefficiente di e il coefficiente di , qundi

Inoltre si ha

infatti sostituendo le espressioni di e ottengo:

e semplificando i termini opposti

raccogliendo ottengo l'identità:

quindi la condizione è verificata.


Inoltre analogamente .

Concludo che

allora e' una combinazione lineare di e .

cvd

 
Corollario 3.1

Il punto appartiene al piano se e solo se (questo infatti implica che il vettore differenza tra il punto e il punto di passaggio è combinazione lineare dei vettori direzione).


Per definire un piano in basta un'equazione cartesiana.

 

Dall'equazione parametrica alla cartesiana[modifica | modifica wikitesto]

Esercizio 3.1

Trovare un'equazione cartesiana per il piano passante per e avente vettori direzione e .


I vettori direzione sono linearmente indipendenti, infatti

Allora impongo che

In questo modo esprimo come soluzione di un sistema lineare in tre incognite.

I vettori direzione soddisfano l'equazione omogenea. Il punto di passaggio deve soddisfare quella non omogenea.

 

Dall'equazione cartesiana alla parametrica[modifica | modifica wikitesto]

viceversa, supponiamo di avere un'equazione cartesiana, ovvero il luogo delle soluzioni di un'equazione lineare nelle incognite e cerchiamo di risalire alla parametrizzazione.

Esercizio 3.2

Trovare l'equazione parametrica del piano

Esplicitando la otteng:

Quindi
Ottengo il piano con punto di passaggio e vettori direzione e .

 

In generale, dato il luogo delle soluzioni di un'equazione lineare , con non tutti nulli, se supponiamo , allora

e questa e' il Piano con punto di passaggio e vettori direzione e .

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