La retta in R3

vettori linearmente dipendenti[modifica | modifica wikitesto]

Vale la seguente caratterizzazione analoga a quella presente in : Siano e in , allora e sono linearmente dipendenti se e solo se il prodotto vettore di e e' uguale a 0.


Dimostrazione 3.1

: Suppongo che un vettore sia multiplo scalare dell'altro. Sia per esempio per qualche , allora

: Viceversa supponiamo che il prodotto vettore sia uguale a 0, e devo dimostrare che i vettori sono dipendenti. se , non c'e' niente da dimostrare. Sia . Per esempio sia .
implica che tutte le componenti del prodotto vettoriale sono nulle, quindi, in particolare

e
se e' diverso da 0, allora dividendo per ricavo:

Allora confronto
Allora i vettori sono linearmente dipendenti con .


cvd

 

Definizione ed esempi sulla retta[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 3.2

Se ho un punto in e e in , con , definisco la retta con punto di passaggio e vettore direzione come

 


Trovare equazioni cartesiane per , significa esprimere come il luogo delle soluzioni di un sistema lineare in . Allora appartiene a per definizione se e solo se esiste un numero reale tale che

e quindi se e solo se

per qualche numero reale. Alloora e devono essere linearmente dipendenti.

Allora il prodotto vettore di e deve dare il vettore nullo.

Quindi e' il luogo delle soluzioni delle seguenti equazioni (pongo le componenti del prodotto vettore uguali a 0):

Risolvo il sistema: e faccio le seguenti operazioni.
I termini centrali si annullano e rimane

e semplificando per ottengo , in particolare ho dimostrato che

Analogamente si dimostra che

Quindi, ogni equazione del sistema si puo' scrivere come combinazione lineare delle altre e quindi un'equazione è ridondante. Pertanto ogni retta puo' essere definita da un sistema lineare di due equazioni nelle tre incognite .

Per esempio, se , uso le due equazioni in cui compare , cioè la seconda e la terza equazione.

Analogamente negli altri casi, e .

Dalle equazioni parametriche alle cartesiane[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 3.1

Sia al variare di in , e voglio scriverne le equazioni cartesiane.


se e solo se e sono linearmente indipendenti.


Ricavo due equazioni che non siano una multiplo dell'altra.

riordino
Le equazioni sono indipendenti perche' la x in una equazione compare e nell'altra no. Questo e' un sistema di equazioni carteisane della retta.


verifica: come nel caso di , il vettore direzione dev'essere una soluzione del sistema omogeneo, e il punto di passaggio deve risolvere il sistema non omogeneo (con termine noto).

 
Esempio 3.2

Trovare rappresentazione parametrica ed equazioni cartesiane per la retta congiungente e . Parametrizzazione della retta:

I due vettori e devono essere linearmente dipendenti, quindi il prodotto dev'essere 0.


Terza componente:

Seconda componente:

Equazioni cartesiane:

 

Dalle equazioni cartesiane alle parametriche[modifica | modifica wikitesto]

Viceversa: se e' il luogo delle soluzioni di un sistema lineare di due equazioni indipendenti in , allora e' una retta, come mostra il seguente esempio:

Esempio 3.3

Supponiamo di avere il sistema

Eseguo l'operazione .
Inoltre, dalla prima equazione ricavo

e sostituendo l'espressione di ricavata si ha:

Complessivamente ottengo:

Ho posto Il vettore direzione è e il punto di passaggio è .

 



Caso generale: Supponiamo che sia il luogo delle soluzioni di un sistema lineare della forma:

Con i vettori e linearmente indipendenti.


Se per esempio , e' il luogo delle soluzioni del sistema seguente: (rispetto al sistema di partenza, al posto della seconda equazione inserisco ).

Dividendo la prima equazione per e moltiplicando per la seconda ottengo:
I coefficienti non possono essere uguali a 0 altrimenti i due vettori iniziali sarebbero linearmente dipendenti.


Divido allora la seconda equazione per :

Riscrivo questo sistema cambiando i nomi ai coefficienti:
Sottraggo alla prima equazione la seconda moltiplicata per , in modo da annullare il termine in :
Pongo ora , , , . Quindi , mentre .

Il punto di passaggio è e il vettore direzione è .

Si puo' descrivere una retta partendo da una parametrizzazione.

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