Definizione di determinante ed esempi

Teorema 13.1

Per ogni , esiste ed è unica una funzione che è multilineare, alternante, e tale che . Tale funzione si dice determinante e si scrive: oppure (la seconda scrittura è ambigua).

 
Esempio 13.10

L'applicazione che porta una matrice

in è multilineare e alternante. se la applico alla matrice identità ottengo 1, quindi essa è il determinante per matrici di cui il teorema precedente afferma l'unicità.

 
Esempio 13.11

Considero

con colonne di una matrice . Per quanto detto in precedenza, essa è multilineare e alternante. Applico alla matrice identica:

quindi è il determinante di una matrice .

 

Teorema di Binè[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 13.2

Siano e matrici . Allora il determinante del prodotto è il prodotto dei determinanti, ovvero

 
Corollario 13.1

Se è una matrice invertibile, allora e il determinante della matrice inversa è l'inverso del determinante di , ovvero .

 


Dimostrazione 13.2

Per definizione di matrice inversa, , allora

e per il teorema di Binet:
quindi e . cvd

 
Teorema 13.3

Se appartenente a allora è invertibile se e solo se .

 


Corollario 13.2

Se sono vettori in , allora è una base di se e solo se il determinante della matrice che ha per colonne questi vettori è non nullo. Inoltre una matrice è invertibile se e solo se i vettori sono linearmente indipendenti).

 
Corollario 13.3
se sono simili, allora .
 


Dimostrazione 13.3

Sia invertibile tale che . Allora per il teorema di Binet

e poiché , si ha

cvd

 


Osservazione 13.1

Se e sono simili, allora , , .

 



Non vale viceversa, infatti le matrici

hanno traccia, rango e determinante uguali ma non sono simili.

Corollario 13.4

(segue dalla commutatività del prodotto in , i determinanti sono numeri!)

 
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