Calcolo del determinante

Teorema 13.4

Se è una matrice , allora .

 


Dimostrazione 13.4

Le righe di sono le colonne di .

 
Definizione 13.3

Una matrice in si dice triangolare superiore se i termini sotto la diagonale sono tutti nulli, ovvero è triangolare superiore se e solo se

 
Osservazione 13.2

Se di entrate è triangolare superiore, allora , ovvero il determinante di una matrice triangolare superiore è il prodotto delle entrate sulla diagonale.

 
Esempio 13.12

Calcoliamo il determinante della matrice

Applico la regola:

 
In base alla regola scritta prima, posso calcolare il determinante di una matrice anche riducendola a scala e poi moltiplicando gli elementi sulla diagonale. Se durante l'eliminazione di Gauss scambio due righe, il determinante cambia di segno.
Esempio 13.13

Calcolo il determinante di

Scambio la prima e la seconda riga (il determinante avrà sengo opposto)

 

Sviluppo di Laplace[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 13.4

Sia una matrice . Si pone la matrice ottenuta togliendo la i-esima riga e la j-esima colonna alla matrice di partenza.

 


Proposizione 13.1

Se è una matrice di entrate , allora

 
Esempio 13.14

Applichiamo questa formula per calcolare il determinante della matrice:

Sviluppo secondo la prima colonna
Lo stesso risultato si ottiene facendo l'eliminazione di Gauss.

Posso sottrarre alla terza riga un multiplo della prima, cioè la prima per 2.

Ricordare: non posso moltiplicare la terza riga per 3 e poi sottrarle la seconda, posso però dividere la seconda riga per 3 e poi sottrarla alla terza oppure scambiare le due righe, ricordando di cambiare segno al determinante.
Ora sommo alla terza riga la seconda moltiplicata per 3.

 
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