Teorema di Sylvester

Teorema 16.4 (di Sylvester)

Sia uno spazio vettoriale di dimensione finita. Sia un prodotto scalare. Allora esistono interi con la seguente proprietà: per ogni scelta di una base di ortogonale per , si ha

(il simbolo significa "il numero di")

 

In forma sintetica: prese due basi ortogonali e , se calcolo le matrici rispetto alle basi, il numero di entrate positive è lo stesso in entrambe le matrici.

Indici di nullità positività e negatività[modifica | modifica wikitesto]

e sono invarianti del prodotto scalare, non dipendono cioè dalla particolare base ortogonale scelta.
Definizione 16.2

si definisce indice di nullità di ed è la dimensione dello spazio nullo (ed è quindi invariante per il prodotto scalare). si chiama indice di positivita di . La differenza è il numero di per cui e si chiama indice di negativita di .

 

è non degenere se e solo se e quindi se e solo se .

Teorema 16.5

è definito positivo se e solo se .

 


Dimostrazione 16.2

Supponiamo vero il teorema di Sylvester. : Sia definito positivo e sia una base ortogonale per . Allora è una matrice con entrate diagonali , quindi il numero di entrate positive è uguale a .

: Viceversa, sia e sia una base ortogonale per .

Allora ha entrate diagonali tutte positive.

Sia , allora possiamo scrivere

allora
La base è ortogonale e sopravvivono solo i termini con , quindi rimane

Se , esso è positivo perchè tutti i lo sono, quindi, se ,

quindi è definito positivo.

cvd

 

Dimostrazione del teorema di Sylvester[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo ora dimostrare il teorema di Sylvester enunciato precedentemente:
Dimostrazione 16.3

Siano e basi di ortogonali per .

Siano e .

Sappiamo che lo spazio nullo è lo span dei tali che ma è anche lo span dei tali che .

Presi in qualche ordine, gli insiemi di generatori sono basi del medesimo sottospazio vettoriale di e quindi ricaviamo che perché entrambi sono uguali alla dimensione dello spazio nullo.

Siano ora e . Dobbiamo dimostrare che .

Dopo aver eventualmente riordinato le basi e possiamo supporre senza perdita di generalità che , dove , dove i vettori del primo gruppo hanno prodotto scalare nullo con sé stessi, quelli del secondo gruppo hanno prodotto scalare positivo con sé stessi e quelli del terzo hanno prodotto scalare con sé stessi negativo.

Analogamente, supponiamo che .

Supponiamo per assurdo che . Allora concludo necessariamente che . Se considero la stringa di vettori il loro numero è .

Siccome abbiamo più di vettori in uno spazio di dimensione , allora tali vettori sono linearmente dipendenti ed esistono scalari non tutti nulli tali per cui

Quindi portando i si ricava
Chiamo il vettore che compare a primo e a secondo membro e si ha . Calcoliamo in due modi. Da un lato si ha

uso la linearità:
I termini del primo addendo scompaiono perché sto considerando vettori che hanno prodotto scalare nullo anche con sé stessi; i termini del secondo e terzo addendo scompaiono perché considero prodotti scalari di vettori appartenenti a gruppi diversi; nell'ultimo addendo sopravvive il termine con quindi si ha
allora ed è uguale a 0 se e solo se , per ogni .

Usando invece l'espressione ricaviamo

uso la bilinearità e ottengo
La base di è ortogonale, quindi:
perché sto considerando vettori appartenenti al gruppo di quelli che hanno prodotto scalare negativo con se stessi. Si ha se e solo se per ogni .

Allora nel primo caso, nel secondo caso e si conclude che e quindi per ogni , allora stesso è uguale a 0 se considero la seconda espressione, quindi è il vettore nullo. Allora, tornando alla relazione , ricaviamo che

ma siccome questi vettori sono linearmente indipendenti, essendo parte di una base, tutti gli scalari sono nulli. Questo è assurdo, perché avevamo supposto che qualche scalare fosse diverso da 0.

L'unico modo per evitare l'assurdo è supporre che non possa essere maggiore di , quindi e scambiando i ruoli delle basi, per un ragionamento analogo e quindi per ogni scelta di basi di ortogonali.

cvd

 


Esempio 16.2

Sia e definisco

Trovare e

è la dimensione dello spazio nullo, e quindi del ker di che in questo caso è 0.

Se fosse 2, il prodotto scalare sarebbe definito positivo e questo non avviene, perché le entrate sulla diagonale sono uguali a 0. Se fosse 0, il prodotto sarebbe definito negativo, ma questo non avviene: infatti considero la base di ortogonale per data da : la matrice che rappresenta in questa base, ovvero la matrice con entrate , è

che ha un'entrata positiva sulla diagonale. Allora il prodotto scalare non è definito negativo e .

 
Esempio 16.3

Considero la matrice

perché la dimensione del nucleo della matrice è 1.

può essere 0 o 1. Se fosse 0, il prodotto sarebbe semidefinito negativo. Questo non può avvenire, perché ad esempio . Allora necessariamente .

 
Definizione 16.3

Un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale si dice positivo semidefinito se per ogni .

Analogamente, è negativo semidefinito se per ogni .

 
 PrecedenteSuccessivo