Teorema 16.4 (di Sylvester)
Sia
uno spazio vettoriale di dimensione
finita. Sia
un prodotto scalare. Allora esistono interi
con la seguente proprietà: per ogni scelta di una base
di
ortogonale per
, si ha


(il simbolo

significa "il numero di")
In forma sintetica: prese due basi ortogonali
e
, se calcolo le matrici rispetto alle basi, il numero di entrate positive è lo stesso in entrambe le matrici.

e

sono invarianti del prodotto scalare, non dipendono cioè dalla particolare base ortogonale

scelta.
Definizione 16.2
si definisce indice di nullità di
ed è la dimensione dello spazio nullo (ed è quindi invariante per il prodotto scalare).
si chiama indice di positivita di
. La differenza
è il numero di
per cui
e si chiama indice di negativita di
.
è non degenere se e solo se
e quindi se e solo se
.
Teorema 16.5
è definito positivo se e solo se
.
Dimostrazione 16.2
Supponiamo vero il teorema di Sylvester.
: Sia
definito positivo e sia
una base ortogonale per
. Allora
è una matrice con entrate diagonali
, quindi il numero di entrate positive è uguale a
.
: Viceversa, sia
e sia
una base ortogonale per
.
Allora
ha entrate diagonali tutte positive.
Sia
, allora possiamo scrivere

allora

La base è ortogonale e sopravvivono solo i termini con

, quindi rimane

Se

, esso è positivo perchè tutti i

lo sono, quindi, se

,

quindi

è definito positivo.
cvd
Possiamo ora dimostrare il teorema di Sylvester enunciato precedentemente:
Dimostrazione 16.3
Siano
e
basi di
ortogonali per
.
Siano
e
.
Sappiamo che lo spazio nullo è lo span dei
tali che
ma è anche lo span dei
tali che
.
Presi in qualche ordine, gli insiemi di generatori sono basi del medesimo sottospazio vettoriale di
e quindi ricaviamo che
perché entrambi sono uguali alla dimensione dello spazio nullo.
Siano ora
e
. Dobbiamo dimostrare che
.
Dopo aver eventualmente riordinato le basi
e
possiamo supporre senza perdita di generalità che
, dove
, dove i vettori del primo gruppo hanno prodotto scalare nullo con sé stessi, quelli del secondo gruppo hanno prodotto scalare positivo con sé stessi e quelli del terzo hanno prodotto scalare con sé stessi negativo.
Analogamente, supponiamo che
.
Supponiamo per assurdo che
. Allora concludo necessariamente che
. Se considero la stringa di vettori
il loro numero è
.
Siccome abbiamo più di
vettori in uno spazio di dimensione
, allora tali vettori sono linearmente dipendenti ed esistono scalari
non tutti nulli tali per cui

Quindi portando i

si ricava

Chiamo

il vettore che compare a primo e a secondo membro e si ha

. Calcoliamo

in due modi.
Da un lato si ha

uso la linearità:




I termini del primo addendo scompaiono perché sto considerando vettori che hanno prodotto scalare nullo anche con sé stessi; i termini del secondo e terzo addendo scompaiono perché considero prodotti scalari di vettori appartenenti a gruppi diversi; nell'ultimo addendo sopravvive il termine con

quindi si ha

allora

ed è uguale a 0 se e solo se

, per ogni

.
Usando invece l'espressione
ricaviamo

uso la bilinearità e ottengo

La base di

è ortogonale, quindi:

perché sto considerando vettori appartenenti al gruppo di quelli che hanno prodotto scalare negativo con se stessi. Si ha

se e solo se

per ogni

.
Allora
nel primo caso,
nel secondo caso e si conclude che
e quindi
per ogni
, allora
stesso è uguale a 0 se considero la seconda espressione, quindi
è il vettore nullo.
Allora, tornando alla relazione
, ricaviamo che

ma siccome questi vettori sono linearmente indipendenti, essendo parte di una base, tutti gli scalari sono nulli.
Questo è assurdo, perché avevamo supposto che qualche scalare fosse diverso da 0.
L'unico modo per evitare l'assurdo è supporre che
non possa essere maggiore di
, quindi
e scambiando i ruoli delle basi,
per un ragionamento analogo e quindi
per ogni scelta di basi di
ortogonali.
cvd
Esempio 16.2
Sia
e definisco

Trovare
e
è la dimensione dello spazio nullo, e quindi del ker di
che in questo caso è 0.
Se
fosse 2, il prodotto scalare sarebbe definito positivo e questo non avviene, perché le entrate sulla diagonale sono uguali a 0. Se
fosse 0, il prodotto sarebbe definito negativo, ma questo non avviene: infatti considero la base di
ortogonale per
data da
: la matrice che rappresenta
in questa base, ovvero la matrice con entrate
, è

che ha un'entrata positiva sulla diagonale. Allora il prodotto scalare non è definito negativo e

.
Esempio 16.3
Considero la matrice


perché la dimensione del nucleo della matrice è 1.
può essere 0 o 1. Se fosse 0, il prodotto sarebbe semidefinito negativo. Questo non può avvenire, perché ad esempio
. Allora necessariamente
.
Definizione 16.3
Un prodotto scalare
sullo spazio vettoriale reale si dice positivo semidefinito se
per ogni
.
Analogamente,
è negativo semidefinito se
per ogni
.