Definizione 16.5
Per ogni
consideriamo la funzione parziale
.
Per ogni
e
, si ha


Questo significa che

è lineare, ossia

è un elemento dello spazio duale, quindi esiste un'applicazione

che manda

in

.
Lemma 16.3
è lineare, pertanto appartiene allo spazio degli omomorfismi da
in
.
Dimostrazione 16.4
Per ogni
e per ogni
si ha

quindi

.
cvd
Fissiamo una base
di
e sia
la matrice di
rispetto a questa base, tale che
con
. Considero poi la base duale
che è la base di
duale a
, cioè tale che
.
Ci si chiede che forma ha la matrice
da
a
dell'applicazione
.
La matrice
è una matrice
ed è tale che
è la colonna delle coordinate di
nella base
.
Ma per ogni
in
la colonna delle coordinate di
nella base
è data da
, allora

Ma

, allora

è uguale alla j-esima colonna di

e le due matrici coincidono.
Concludiamo che la matrice che rappresenta
rispetto alle basi
e
coincide con la matrice
del prodotto scalare
nella base
.
In particolare
è non degenere se e solo se
è invertibile, e quindi se e solo se
è un isomorfismo di spazi vettoriali, pertanto un prodotto scalare non degenere definisce un isomorfismo tra
e
.
Dimostrazione del teorema sul complemento ortogonale[modifica | modifica wikitesto]
Sia
un sottospazio vettoriale di
. Se
, allora
se e solo se
. Allora
. Quindi
se e solo se
appartiene all'annullatore di
, che è un sottospazio vettoriale del duale.
Allora il complemento ortogonale di
mediante
è la controimmagine di
(che dipende da
) del sottospazio annullatore di
. (questo è sempre vero, anche se
è degenere).
Se ora suppongo che
sia non degenere,
è un isomorfismo e quindi per ogni sottospazio vettoriale la dimensione del complemento ortogonale è uguale alla dimensione della controimmagine di
e quindi alla differenza
.
Corollario 16.4
Sia
e sia
uno spazio vettoriale euclideo finitodimensionale, cioè
è un prodotto scalare definito positivo.
Allora per ogni
in
sottospazio vettoriale si ha che
è la somma diretta di
e del complemento ortogonale mediante
(somma diretta ortogonale).
Dimostrazione 16.5
Se
si ha
, perché
e per le proprietà di
e
perché
.
è definito positivo, quindi
ed è uguale a 0 solo se
è il vettore nullo.
Quindi l'intersezione tra i due spazi è il vettore nullo.
cvd