L'applicazione Lv

Definizione 16.5

Per ogni consideriamo la funzione parziale . Per ogni e , si ha

Questo significa che è lineare, ossia è un elemento dello spazio duale, quindi esiste un'applicazione che manda in .
 
Lemma 16.3

è lineare, pertanto appartiene allo spazio degli omomorfismi da in .

 


Dimostrazione 16.4

Per ogni e per ogni si ha

quindi .

cvd

 

Matrice di L[modifica | modifica wikitesto]

Fissiamo una base di e sia la matrice di rispetto a questa base, tale che con . Considero poi la base duale che è la base di duale a , cioè tale che .

Ci si chiede che forma ha la matrice da a dell'applicazione .

La matrice è una matrice ed è tale che è la colonna delle coordinate di nella base .

Ma per ogni in la colonna delle coordinate di nella base è data da , allora

Ma , allora è uguale alla j-esima colonna di e le due matrici coincidono.

Concludiamo che la matrice che rappresenta rispetto alle basi e coincide con la matrice del prodotto scalare nella base .

In particolare è non degenere se e solo se è invertibile, e quindi se e solo se è un isomorfismo di spazi vettoriali, pertanto un prodotto scalare non degenere definisce un isomorfismo tra e .

Dimostrazione del teorema sul complemento ortogonale[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 16.4

Sia un sottospazio vettoriale di . Se , allora se e solo se . Allora . Quindi se e solo se appartiene all'annullatore di , che è un sottospazio vettoriale del duale. Allora il complemento ortogonale di mediante è la controimmagine di (che dipende da ) del sottospazio annullatore di . (questo è sempre vero, anche se è degenere).

Se ora suppongo che sia non degenere, è un isomorfismo e quindi per ogni sottospazio vettoriale la dimensione del complemento ortogonale è uguale alla dimensione della controimmagine di e quindi alla differenza .

 
Corollario 16.4

Sia e sia uno spazio vettoriale euclideo finitodimensionale, cioè è un prodotto scalare definito positivo. Allora per ogni in sottospazio vettoriale si ha che è la somma diretta di e del complemento ortogonale mediante (somma diretta ortogonale).

 


Dimostrazione 16.5

Se si ha , perché e per le proprietà di e perché . è definito positivo, quindi ed è uguale a 0 solo se è il vettore nullo.

Quindi l'intersezione tra i due spazi è il vettore nullo.

cvd

 
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