Esistenza della base ortogonale

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Un prodotto scalare è piu' facile da studiare quando si può rappresentare su una matrice diagonale.

Problema: Dato un prodotto scalare qualsiasi, , ci si chiede se esiste sempre una base di ortogonale per . La risposta è affermativa.
Teorema 16.1

Sia uno spazio vettoriale finitodimensionale su e sia . Allora esiste una base di ortogonale per , cioè tale che se e solo se , e quindi tale che la matrice di nella base sia una matrice diagonale con entrate .

 


Corollario 16.1

Sia una qualsiasi matrice simmetrica sul campo . Allora definisce un prodotto scalare dato da , dove è la matrice nella base canonica di . Allora per il teorema precedente esiste una base di tale che la matrice del medesimo prodotto scalare è diagonale.

 


Corollario 16.2

Sia una matrice simmetrica a coefficienti in . Allora esiste una matrice invertibile tale che è diagonale.

 

Per poter dimostrare il teorema sull'esistenza di una base ortogonale enunciato all'inizio di questo paragrafo sono necessarie alcune osservazioni preliminari.

Osservazione sul complemento ortogonale[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 16.1

Nelle ipotesi precedenti, sia un qualsiasi elemento tale che . Allora per ogni possiamo scrivere:

Preso il primo termine, se ne faccio il prodotto scalare con ottengo

Concludo che appartiene al complemento ortogonale dello span di , perchè il suo prodotto scalare con è 0.

Inoltre il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale di è un sottospazio vettoriale di .

Ricaviamo che ogni elemento di è la somma di un vettore in e di un vettore in .

Quindi se , allora sicuramente è la somma dello span di e del suo complemento ortogonale.

 

Supponiamo di avere un vettore . Siccome esiste in tale che . Ma appartiene anche a quindi . Ma questo implica che : poiché per ipotesi , segue che e l'intersezione si riduce al vettore nullo.

Riassumendo: se , allora e i due spazi sono in somma diretta, perchè la loro intersezione è vuota.

Abbiamo dimostrato pertanto il seguente lemma:
Lemma 16.1

Se è un prodotto scalare e soddisfa , allora è la somma diretta del complemento ortogonale dello span di e dello span di stesso.

 

In particolare, se ha dimensione allora nelle stesse ipotesi la dimensione del complemento ortogonale dello span è la differenza della dimensione di e di quella dello span di , quindi è .

Funzione quadratica[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 16.2

Sia un prodotto scalare e definiamo la funzione quadratica associata a , tale che .

 

Ad esempio, presa la matrice

e il prodotto scalare ad essa associato , accade che , mentre e .

è un polinomio quadratico omogeneo su .

In generale, se è una qualsiasi matrice simmetrica su e considero , allora

quindi
ed è un polinomio quadratico.
In generale quindi si dice forma quadratica associata al prodotto scalare.

Identitè di polarizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Se , cioè per ogni scelta di , allora per ogni scelta di e quindi .

Ci si chiede se vale anche viceversa e quindi se implica .

Consideriamo la seguente quantità:

per la linearitè sulla prima componente:
e per la linearitè sulla seconda componente:
Abbiamo dimostrato il seguente lemma:

Lemma 16.2

Se è un prodotto scalare, allora per ogni si ha

 
Corollario 16.3

se e solo se .

 

Se è un prodotto scalare diverso da 0, cioè se esistono tali che , allora esiste un tale che . In particolare, Per tale si ha allora

(vale anche per spazi non finitodimensionali).

Dimostrazione del teorema enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Ora possiamo dimostrare il teorema enunciato precedentemente sull'esistenza della base ortogonale:
Dimostrazione 16.1

Procediamo per induzione sulla dimensione di , che chiamiamo .

Se , ogni base di è ortogonale per (ogni matrice unitè è una matrice diagonale).

Sia allora e supponiamo vero l'asserto su tutti gli spazi vettoriali su di dimensione minore di . Allora se è il prodotto scalare identicamente nullo, ogni base è ancora ortogonale (ovviamente per ogni base di la matrice di nella base è la matrice nulla ed è diagonale).

Possiamo quindi supporre che , allora per l'osservazione 2 esiste tale che , pertanto e ha dimensione .

Sia la restrizione di al complemento ortogonale dello span di .

Anche la restrizione è bilineare e simmetrica, quindi è un prodotto scalare, ma su uno spazio di dimensione inferiore. Per l'ipotesi induttiva esiste una base per che è ortogonale per , quindi per e .

Definiamo una nuova base , data dalla sequenza ordinata dove poniamo ( è il vettore di partenza scelto con la proprietè che ).

I vettori sono linearmente indipendenti, perchè non è combinazione lineare dei precedenti e sono una base quindi è una base di .

Per , per e si ha anche perchè appartiene a e per costruzione.

Concludo che questa è una base ortogonale, e quindi l'asserto vale.

cvd

 
 PrecedenteSuccessivo