Dati
e
come sopra, sia
una base di
ortogonale per
, di cui il teorema precedente garantisce l'esistenza; allora
per
e quindi la matrice associata al prodotto scalare è la matrice diagonale con entrate
con
.
è non degenere se e solo se la matrice associata è invertibile (il suo ker è 0), quindi
, perchè il determinante della matrice, dato dalla moltiplicazione dei
, dev'essere diverso da 0.
Supponiamo che

sia degenere allora

per qualche

. Possiamo supporre che

se

e

se

(anche se riordino i vettori la base è comunque ortogonale).
Sia
appartenente a
, allora esistono scalari tali che

Per ogni

abbiamo allora

Uso la linearità:

Ma

infatti se

è uguale da 0 per definizione, mentre se

è uguale a 0 per costruzione, perchè

.
Ma se
anche
.
Inoltre ogni vettore di
può essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base, cioè esistono
in
tali che

quindi si può scrivere:

ma

per quanto detto prima, quindi

cioè

appartiene allo spazio nullo di

.
Concludiamo che
è contenuto nello spazio nullo di
.
Sia viceversa
un elemento dello spazio nullo del prodotto scalare. Allora esistono
tali per cui

allora se

sappiamo che

perchè

appartiene allo spazio nullo del prodotto scalare.
Se uso la linearità sulla prima componente ottengo

ma

per ogni

, rimane solo

ma

per

. Concludo che

per

e

per

.
Concludiamo che se
appartiene allo spazio nullo del prodotto scalare, allora

quindi
.
Dalle due implicazioni segue che
e lo spazio nullo del prodotto scalare coincidono.
Abbiamo quindi dimostrato il seguente:
Teorema 16.2
Sia
uno spazio vettoriale su
finitodimensionale, di dimensione
. Sia
un prodotto scalare e sia
una base ortogonale per
, cioè
.
Allora
è non degenere se e solo se
per ogni
;
- se
è degenere (cioè se lo spazio nullo è diverso da 0 e quindi se
per almeno un k) allora lo spazio nullo è lo span dei
che corrispondono alle entrate diagonali uguali a 0, cioè è lo span dei
tali che 
Nelle ipotesi precedenti (
prodotto scalare,
base di
ortogonale per
), supponiamo che
per
e
se
.
Allora definisco una nuova sequenza di vettori
come segue:

ove

.
Si noti che è possibile fare quest'operazione solo se
perché
è l'unico campo in cui ogni elemento ha una radice e in cui si è certi dell'esistenza di
.
Si noti che i
sono ancora una base ortogonale, perchè rimangono linearmente indipendenti e ortogonali tra loro.
Se
allora
. Invece, se
, si ha

Teorema 16.3
Se
è uno spazio vettoriale su
di dimensione finita
e se
è è un prodotto scalare, allora esiste una base
di
ortogonale per
tale che
per ogni
(cioè le entrate diagonali sono uguali a 0 o a 1).
Quindi se
è una matrice complessa, simmetrica
, allora esiste una matrice 
invertibile tale che
è la matrice con tutte le entrate diagonali uguali a 1.
In generale, se
ha rango
, allora esiste
invertibile
tale che
è una