Considerazioni generali

Span contenuto nello spazio nullo[modifica | modifica wikitesto]

Dati e come sopra, sia una base di ortogonale per , di cui il teorema precedente garantisce l'esistenza; allora per e quindi la matrice associata al prodotto scalare è la matrice diagonale con entrate con .

è non degenere se e solo se la matrice associata è invertibile (il suo ker è 0), quindi , perchè il determinante della matrice, dato dalla moltiplicazione dei , dev'essere diverso da 0.

Supponiamo che sia degenere allora per qualche . Possiamo supporre che se e se (anche se riordino i vettori la base è comunque ortogonale).
Osservazione 16.3

Sia appartenente a , allora esistono scalari tali che

Per ogni abbiamo allora
Uso la linearità:
Ma infatti se è uguale da 0 per definizione, mentre se è uguale a 0 per costruzione, perchè .

Ma se anche . Inoltre ogni vettore di può essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base, cioè esistono in tali che

quindi si può scrivere:
ma per quanto detto prima, quindi cioè appartiene allo spazio nullo di .

Concludiamo che è contenuto nello spazio nullo di .

 

Spazio nullo contenuto nello span[modifica | modifica wikitesto]

Sia viceversa un elemento dello spazio nullo del prodotto scalare. Allora esistono tali per cui

allora se sappiamo che perchè appartiene allo spazio nullo del prodotto scalare.

Se uso la linearità sulla prima componente ottengo

ma per ogni , rimane solo ma per . Concludo che per e per .

Concludiamo che se appartiene allo spazio nullo del prodotto scalare, allora

quindi .

Dalle due implicazioni segue che e lo spazio nullo del prodotto scalare coincidono.

Abbiamo quindi dimostrato il seguente:

Teorema 16.2

Sia uno spazio vettoriale su finitodimensionale, di dimensione . Sia un prodotto scalare e sia una base ortogonale per , cioè . Allora

  1. è non degenere se e solo se per ogni ;
  2. se è degenere (cioè se lo spazio nullo è diverso da 0 e quindi se per almeno un k) allora lo spazio nullo è lo span dei che corrispondono alle entrate diagonali uguali a 0, cioè è lo span dei tali che
 

Caso particolare K= C[modifica | modifica wikitesto]

Nelle ipotesi precedenti ( prodotto scalare, base di ortogonale per ), supponiamo che per e se .

Allora definisco una nuova sequenza di vettori come segue:

ove .

Si noti che è possibile fare quest'operazione solo se perché è l'unico campo in cui ogni elemento ha una radice e in cui si è certi dell'esistenza di .

Si noti che i sono ancora una base ortogonale, perchè rimangono linearmente indipendenti e ortogonali tra loro.

Se allora . Invece, se , si ha

Teorema 16.3

Se è uno spazio vettoriale su di dimensione finita e se è è un prodotto scalare, allora esiste una base di ortogonale per tale che per ogni (cioè le entrate diagonali sono uguali a 0 o a 1).

Quindi se è una matrice complessa, simmetrica , allora esiste una matrice invertibile tale che è la matrice con tutte le entrate diagonali uguali a 1.

In generale, se ha rango , allora esiste invertibile tale che è una

 
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